强连通图 ( Tarjan，邻接矩阵 )——Network of Schools ( POJ 1236 )

• 题目链接：
  http://poj.org/problem?id=1236

• 分析：
  N个学校之间有单向的网络，每个学校得到一套软件后，可以通过单向网络向周边学校发送该软件。
  Q1：至少需要给多少个学校发放软件，才能使得所有的学校最终能得到软件。
  Q2：至少需要增加几条传输路线，使得任意向一个学校发放软件后，经过若干次传输，所有学校都能得到软件。

• 题解：
  找强连通分量，缩点。记f[i]为缩完点后的新图中各点入度，g[i]为出度，ans1为f[i]==0的点的数目，ans2为g[i]==0的点的数目，则第一问为ans1，第二问则为max{ans1，ans2}。

  至于第二问的解释，对于得到的DAG图，考虑其中的出度为0的点和入度为0的点组成的点集V，将这些点相连，最多这需要max{ans1，ans2}条边，就能使整个图成为强连通分量。

  但是这个结论的前提是DAG图是连通的情况下才成立。如果DAG图有多个连通分量，则还要考虑将多个连通分量合并的所需代价。不过这道题保证了只有一个连通分量。

• 代码：

1.建图：（因为该题点数较少，所以可以考虑邻接矩阵建图）

int map[MAXN][MAXN];for(i= 1; i <= n; i++){    while(scanf("%d", &temp) && temp)    {        map[i][temp] = 1;    }}

2.tarjan计算出强连通分量

#define MAXN 110#define INF 0x3f3f3f3fint n;int map[MAXN][MAXN];int low[MAXN];int dfn[MAXN];int stack[MAXN], head;int instack[MAXN];int belong[MAXN];int Index, cnt;void tarjan(int x){    int i, a;    low[x] = dfn[x] = Index; // 刚搜到一个节点时low = dfn    Index++;    stack[++head] = x; // 将该节点入栈    instack[x] = 1; // 将入栈标记设置为1    for(i = 1; i <= n; i++) // 遍历入栈节点的边    {        if(!map[x][i]) // 如果两点之间没有边            continue; // 不用管它        if(dfn[i] == -1) // 如果新搜索到的节点是从未被搜索过        {            tarjan(i); // 那自然就得搜索这个节点            low[x] = min(low[x], low[i]); // 回溯的时候改变当前节点的low值        }        else if(instack[i]) // 如果新搜索到的节点已经被搜索过而且现在在栈中        {            low[x] = min(low[x], dfn[i]); // 更新当前节点的low值，这里的意思是两个节点之间有一条可达边，而前面        }                                 // 而前面节点已经在栈中，那么后面的节点就可能和前面的节点在一个联通分量中    }    if(low[x] == dfn[x]) // 最终退回来的时候 low == dfn ， 没有节点能将根节点更新，那    {                   // low == dfn 的节点必然就是根节点        int temp;        while(1) // 一直出栈到此节点， 这些元素是一个强联通分量        {            temp = stack[head--]; // 弹出栈元素            belong[temp] = cnt; // 为了方便计算，将强联通分量进行标记            instack[temp] = 0; // 将栈内标记置为0            if(temp == x)     // 一直弹到x出现为止                break;        }        cnt++;    }}

• 输出：
  找除入度为0和出度为0的强连通分量的数量。

int in[MAXN];int out[MAXN];void solve(){    int i, j;    int t1, t2;    while(scanf("%d", &n) != EOF) //    {        init(); // 初始化        for(i = 1; i <= n; i++) //            if(dfn[i] == -1) // 如果某点没被访问过，则对其进行tarjan                tarjan(i);          // tarjan的成果是得到了一个belong数组，记录每个节点分别属于哪个强联通分量        for(i = 1; i <= n; i++) // 遍历每条边，找到缩点之后的边        {            for(j = 1;j <= n; j++)            {                if(map[i][j] && belong[i] != belong[j]) // 两点之间有边，但不是属于一个强联通分量的边                {                    out[belong[i]]++; // 缩点后的点入度+1                    in[belong[j]]++;// 缩点后的点出度+1                }            }        }        t1 = 0, t2 = 0;        for(i = 1; i < cnt; i++)        {            if(in[i] == 0)                t1++;            if(out[i] == 0)                t2++;        }        if(cnt == 2)            printf("1\n0\n");        else            printf("%d\n%d\n", t1, max(t1, t2));    }}

• 参考代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <queue>using namespace std;#define MAXN 110#define INF 0x3f3f3f3fint n;int map[MAXN][MAXN];int low[MAXN];int dfn[MAXN];int stack[MAXN], head;int instack[MAXN];int belong[MAXN];int in[MAXN];int out[MAXN];int Index, cnt;int min(int a, int b){    return a < b ? a : b;}int max(int a, int b){    return a > b ? a : b;}void init(){    int i, j;    int temp;    memset(map, 0, sizeof(map));    memset(dfn, -1, sizeof(dfn));    memset(low, 0, sizeof(low));    memset(instack, 0, sizeof(instack));    Index = cnt = 1;    head = 0;    for(i= 1; i <= n; i++)    {        while(scanf("%d", &temp) && temp)        {            map[i][temp] = 1;        }    }}void tarjan(int x){    int i, a;    low[x] = dfn[x] = Index; // 刚搜到一个节点时low = dfn    Index++;    stack[++head] = x; // 将该节点入栈    instack[x] = 1; // 将入栈标记设置为1    for(i = 1; i <= n; i++) // 遍历入栈节点的边    {        if(!map[x][i]) // 如果两点之间没有边            continue; // 不用管它        if(dfn[i] == -1) // 如果新搜索到的节点是从未被搜索过        {            tarjan(i); // 那自然就得搜索这个节点            low[x] = min(low[x], low[i]); // 回溯的时候改变当前节点的low值        }        else if(instack[i]) // 如果新搜索到的节点已经被搜索过而且现在在栈中        {            low[x] = min(low[x], dfn[i]); // 更新当前节点的low值，这里的意思是两个节点之间有一条可达边，而前面        }                                 // 而前面节点已经在栈中，那么后面的节点就可能和前面的节点在一个联通分量中    }    if(low[x] == dfn[x]) // 最终退回来的时候 low == dfn ， 没有节点能将根节点更新，那    {                   // low == dfn 的节点必然就是根节点        int temp;        while(1) // 一直出栈到此节点， 这些元素是一个强联通分量        {            temp = stack[head--]; // 弹出栈元素            belong[temp] = cnt; // 为了方便计算，将强联通分量进行标记            instack[temp] = 0; // 将栈内标记置为0            if(temp == x)     // 一直弹到x出现为止                break;        }        cnt++;    }}void solve(){    int i, j;    int t1, t2;    while(scanf("%d", &n) != EOF) //    {        init(); // 初始化        for(i = 1; i <= n; i++) //            if(dfn[i] == -1) // 如果某点没被访问过，则对其进行tarjan                tarjan(i);          // tarjan的成果是得到了一个belong数组，记录每个节点分别属于哪个强联通分量        for(i = 1; i <= n; i++) // 遍历每条边，找到缩点之后的边        {            for(j = 1;j <= n; j++)            {                if(map[i][j] && belong[i] != belong[j]) // 两点之间有边，但不是属于一个强联通分量的边                {                    out[belong[i]]++; // 缩点后的点入度+1                    in[belong[j]]++;// 缩点后的点出度+1                }            }        }        t1 = 0, t2 = 0;        for(i = 1; i < cnt; i++)        {            if(in[i] == 0)                t1++;            if(out[i] == 0)                t2++;        }        if(cnt == 2)            printf("1\n0\n");        else            printf("%d\n%d\n", t1, max(t1, t2));    }}int main(){    solve();    return 0;}