poj 3680 Intervals(离散化+费用流)

题目链接：http://poj.org/problem?id=3680

题意： 给定n个带权开区间，选择其中一些区间出来,使得权值最大并且在任意被选区间的有效点上重叠层数不超过k。

解题思路：

这题可以用费用流解决，先讲讲如何建图，再分析算法的正确性。

将所有区间的前后两个端点离散化为n个不重复的点,然后建图:

 源点s编号0, 区间端点编号1到n, 汇点t编号n+1.

       从s到1号点有边(s, 1, k, 0)

       从i号节点到i+1号节点有边(i, i+1, INF, 0)

       从n号节点到t有边(n, t, k, 0)

       如果区间(a,b)的端点a和b分别是离散化后的第i和第j个点,那么有边(i, j, 1, -w)注意:这里花费取原本区间权值的负数,因为这样我们最后求得的最小费用就是最大权值和的负数.

最终算出的最小费用(负值)，就是最大费用的相反数。

这里摘自一片牛人的博客：

 下面分析下该构图为什么能得到解?

       从源点流出了k个流量,那么这k个流量可以选择从i到i+1这种普通边流(因为该边的容量无限大),但是如果此时在i到i+1之间有另外一条区间边时(区间边费用为负值), 由于我们求最小费用,所有k个流量中的一个肯定会沿着这条cost为负的区间边流. 这是如果我们算最小费用,那么就会把该区间边的最小费用算上去一次.

       同理如果i到i+1点之间除了普通边外,同时还有2条区间边(区间边cost都为负值),那么明显k个流量肯定先分出两个1的流量分别走这两条区间边,剩下的才去走那些个普通边(因为普通边cost为0,区间边cost为负).

       如果i到i+1除了普通边1条外,还有8条权值不同的区间边,且k=3,那么我们肯定是选权值最小的那3条区间边去走,而不会去走另外权值大些的路.

这里的感觉就像是自来水管一样，分流然后汇合，保证了管道内的流量不超过k

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<map>#include<queue>using namespace std;const int maxn = 405;const int inf = 0x3f3f3f3f;struct Edge{int from,to,flow,cost,next;Edge(){}Edge(int f,int t,int fl,int co):from(f),to(t),flow(fl),cost(co){} };struct MCMF{int n,s,t;vector<Edge> edge;vector<int> G[maxn];int dis[maxn];int pre[maxn];bool inq[maxn];void init(int n,int s,int t){this->n = n, this->s = s, this->t = t;edge.clear();for(int i = 0; i <= n; i++) G[i].clear();}void addedge(int u,int v,int flow,int cost){edge.push_back(Edge(u,v,flow,cost));edge.push_back(Edge(v,u,0,-cost));int m = edge.size();G[u].push_back(m-2);G[v].push_back(m-1);}int spfa(){queue<int> q;memset(dis,inf,sizeof(dis));memset(pre,-1,sizeof(pre));memset(inq,false,sizeof(inq));dis[s] = 0;inq[s] = true;q.push(s);while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();inq[u] = false;for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){int v = edge[G[u][i]].to;if(dis[v] > dis[u] + edge[G[u][i]].cost && edge[G[u][i]].flow > 0){dis[v] = dis[u] + edge[G[u][i]].cost;pre[v] = G[u][i];if(inq[v] == false){inq[v] = true;q.push(v);}}}}return dis[t] != inf;}int solve(){int mincost = 0,minflow;while(spfa()){minflow = inf;for(int i = pre[t]; i != -1; i = pre[edge[i].from])minflow = min(minflow,edge[i].flow);for(int i = pre[t]; i != -1; i = pre[edge[i].from]){edge[i].flow -= minflow;edge[i^1].flow += minflow;}mincost += dis[t] * minflow;}return mincost;}}MM;int x[maxn],y[maxn],w[maxn];//从1开始标号,记录每个区间  int p[maxn];//离散化后的每个点  int num;//离散化去重后的点数目  int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){int n,k;          num = 0;          scanf("%d%d",&n,&k);          for(int i = 1; i <= n; ++i)          {              scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&w[i]);              p[num++] = x[i];              p[num++] = y[i];          }          sort(p,p + num);          num = unique(p,p + num) - p;          map<int,int> mp;//坐标与编号的映射          for(int i = 0;i < num; ++i) mp[p[i]] = i + 1;            int src=0, dst=num+1;  MM.init(num+2,src,dst);MM.addedge(src,1,k,0);  for(int i=1;i<=num;++i) MM.addedge(i,i+1,inf,0);          for(int i=1;i<=n;++i)          {  MM.addedge(mp[x[i]],mp[y[i]],1,-w[i]);          }  printf("%d\n",-MM.solve());}return 0;}