牛顿迭代法求解方程

说明：该篇博客源于博主的早些时候的一个csdn博客中的一篇，由于近期使用到了，所以再次作一总结。原文地址

概述

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

1. 牛顿迭代公式

设r是 f(x)=0 的根，选取 x0作为r的初始近似值，过点 (x0,f(x0) 做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) ，求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0−f(x0)f′(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点(x1,f(x1))做曲线 y=f(x) 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2=x1−f(x1)f′(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，xn+1=xn−f(xn)f′(xn) 称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

实际上牛顿迭代法就是将非线性的问题转化为线性问题再做处理。将非线性函数在小范围内用他的一阶泰勒级数表示（也就是在某点泰勒展开取低阶项）。

2. 使用牛顿迭代公式求解方程

求解步骤：
1. 原函数：f(x)=xm−a
2. 原函数的导函数：f′(x)=mxm−1
3. 使用牛顿迭代公式xn+1=xn−f(xn)f′(xn)：

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn−xmn−amxm−1n

3. 示例

3.1 利用牛顿迭代公式求解平方根

求解平方根也就是求解函数f(x)=x2−a，f(x)=0 的根。根据上述的求解过程f′(x)=2x ， 带入牛顿迭代公式：

xn+1=xn−x2n−a2xn

#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int main(){    double m,x = 1.0;    cout<<"Please Input a Num:"<<endl;    cin>>m;    if(m < 0)    {        cout<<"Sorry,Input is Illegal"<<endl;    }    else if(m == 0)    {        cout<<"0"<<endl;    }    else    {        while(fabs(m - (x*x)) >= 0.001)        {            x = (x + m/x)/2.0;            cout<<"x="<<x<<"\tm="<<m<<endl;      //显示运算过程        }        cout<<"The result is:"<<x<<endl;    }    system("pause");}

3.2 另一种求解平方根的高效方法

提到这个算法就不得不说一个神奇的数字 0x5f375a86 。下面的代码来自于维基百科，关于更多该数字的奇闻可以点击下面的链接查看：
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

int sqrt(float x) {     if(x == 0) return 0;     float result = x;     float xhalf = 0.5f*result;     int i = *(int*)&result;     i = 0x5f375a86- (i>>1);     result = *(float*)&i;     result = result*(1.5f-xhalf*result*result); // Newton step, repeating increases accuracy     result = result*(1.5f-xhalf*result*result);     return 1.0f/result; }