SBT总结



SBT节点大小平衡树总结

SBT是二叉查找树的优化。

与二叉平衡树AVL类似，我们定义一棵树：

1. 这棵树的size为这棵树所有节点的个数

2. 每棵子树的大小不小于其兄弟的子树大小

即s[right[t]]≥s[left[left[t]]],s[right[left[t]]]且 s[left[t]]≥s[right[right[t]]], s[left[right[t]]]

如果插入结点后不满足SBT性质，那么递归修复这棵树的性质，通过旋转达到目的。

 

voidRight_Rotate(int &t){

      int k=left[t];

      left[t]=right[k];

      right[k]=t;

      s[k]=s[t];

      s[t]=s[left[t]]+s[right[k]]+1;

      t=k;

      return;

}

voidLeft_Rotate(int &t){

      int k=right[t];

      right[t]=left[k];

      left[k]=t;

      s[k]=s[t];

      s[t]=s[left[k]]+s[right[t]]+1;

      t=k;

      return;

}

这里可以运用小技巧，在传入变量的时候传入指针，修改变量的同时也修改了原来根节点的值

 

怎么判断旋转的方式？用Maintain函数，形参为根节点与变量flag，false表示当前考虑的是左边的结点 true是右边的结点。其中我们应该判断四个子节点和根节点是否需要修复，但是“左右”，“右左”的情况被证明已经被根节点的修复操作所判断，又少了两个操作

voidMaintain(int &t,bool flag){

      if(flag==false){

             if(s[left[left[t]]]>s[right[t]])

                    Right_Rotate(t);

             elseif(s[right[left[t]]]>s[right[t]]){

                    Left_Rotate(left[t]);

                    Right_Rotate(t);

             }else return;//一定记住返回

      }else{

             if(s[right[right[t]]]>s[left[t]])

                    Left_Rotate(t);

             else if(s[left[right[t]]]>s[left[t]]){

                    Right_Rotate(right[t]);

                    Left_Rotate(t);

             }else return;//一定记住返回

      }

      Maintain(left[t],false);

      Maintain(right[t],true);

      Maintain(t,false);

      Maintain(t,true);

}

 

插入操作：插入元素后修复整棵树

voidInsert(int &t,int k){

      if(t==0){//新结点

             key[++cnt]=k;

             s[cnt]=1;

             t=cnt;

             left[cnt]=right[cnt]=0;

      }

      else{

             s[t]++;

             if(k<key[t]) Insert(left[t],k);

             else Insert(right[t],k);

             Maintain(t,k>=key[t]);

      }

}

 

找前驱：

intPred(int rt,int k){//找前驱

      if(rt==0) return k;

      if(k<key[rt]) return Pred(left[rt],k);//如果仍然不是前驱，就继续往前找

      else return Pred(right[rt],k);

}

 

找后继：

intSucc(int rt,int k){//找后继

      if(rt==0) return k;

      if(k>key[rt]) returnSucc(right[rt],k);

      else return Succ(left[rt],k)

}

 

寻找第K小的数

intselect(int &x,int k)//求第k小数

{

   int r = tree[tree[x].left].size + 1;

   if(r == k) return tree[x].key;

   else if(r < k) return select(tree[x].right,k - r);

   else return select(tree[x].left,k);

}

 

 

询问某元素在树中是第几大

intrank(int &x,int key)//求key排第几

{

   if(key < tree[x].key)

       return rank(tree[x].left,key);

   else if(key > tree[x].key)

       return rank(tree[x].right,key) + tree[tree[x].left].size +1;

   return tree[tree[x].left].size + 1;

}