poj 1673

题目概述

给定三角形顶点坐标，以三角形每条边向外各做一正方形，将任意两个正方形上有公共点的边的另一个点连接，取所连成线段中点，向公共点（三角形顶点）做直线，如此三条直线会交于一点，求该点坐标
三角形不会退化为线段

时限

1000ms/3000ms

输入

第一行正整数times，其后times组数据，每组数据共三行，每行两个浮点数，描述一个顶点坐标

限制

没有限制

输出

每行两个保留四位小数的浮点数，为所求点坐标

样例输入

2
0.0 0.0
9.0 12.0
14.0 0.0
3.0 4.0
13.0 19.0
2.0 -10.0

样例输出

9.0000 3.7500
-48.0400 23.3600

讨论

计算几何，解决之只需要计算几何的知识，证明的话，用计算几何也能足够，不过还是算入解析几何吧，因为求的这个点其实就是垂心，三角形三条高的交点，初中的话证明这个应该是相当简单，额下面用计算几何的一点知识证明，能简单不少

已知点A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)
由计算几何知识易得点D(xC−yC+yA,yC+xC−xA),E(xC+yC−yB,yC−xC+xB)
得DE中点F(xC+12yA−12yB,yC−12xA+12xB)
得FC−→−=(−12yA+12yB,12xA−12xB)
同时算出AB−→−=(xB−xA,yB−yA)
经计算FC−→−⋅AB−→−=0
知FC⊥AB
同理可证另外两条线
故其交点O为三角形垂心
再往下，利用方向向量的思想求出两条高线上的另外一个点，然后求出高线交点，返回结果
从实现层面上，只需要注意，由于可能会出现-0.0000的情况，因此结果需要+EPS后输出

题解状态

180K，0MS，C++，1085B

题解代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3f#define MAXN 1003#define memset0(a) memset(a,0,sizeof(a))#define EPS 1e-8double xp(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3){    return (x1 - x2)*(y3 - y2) - (y1 - y2)*(x3 - x2);}void point_of_intersection(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double x4, double y4, double &poix, double &poiy){    double Sabc = xp(x3, y3, x1, y1, x2, y2), Sabd = xp(x4, y4, x1, y1, x2, y2);    poix = (Sabc*x4 - Sabd*x3) / (Sabc - Sabd);    poiy = (Sabc*y4 - Sabd*y3) / (Sabc - Sabd);}void fun(){    double x1, y1, x2, y2, x3, y3;//三个顶点的坐标    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2, &x3, &y3);//input    double poix, poiy;    point_of_intersection(x1, y1, y2 - y3 + x1, x3 - x2 + y1, x3, y3, y2 - y1 + x3, x1 - x2 + y3, poix, poiy);//利用方向向量的思想直接得到高线上另外的点的坐标 这个思想在前面用过很多次了 但是不好用文字解释 已知正方形对角线上两点求另外两点也是这个思想    printf("%.4lf %.4lf\n", poix + EPS, poiy + EPS);//output}int main(void){    //freopen("vs_cin.txt", "r", stdin);    //freopen("vs_cout.txt", "w", stdout);    int times;    scanf("%d", &times);//input    while (times--) {        fun();    }}

EOF