高斯消元1(解方程)

小Ho：<吧唧><吧唧><吧唧>

小Hi：小Ho，你还吃呢。想好了么?

小Ho：肿抢着呢(正想着呢)...<吞咽>...我记得这个问题上课有提到过，应该是一元一次方程组吧。

我们把每一件商品的价格看作是x[1]..x[n]，第i个组合中第j件商品数量记为a[i][j]，其价格记作y[i]，则可以列出方程式：

a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y[1]a[2][1] * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y[2]                                  ...a[m][1] * x[1] + a[m][2] * x[2] + ... + a[m][n] * x[n] = y[m]

我们可以对方程组进行3种操作而不改变方程组的解集：

1. 交换两行。

2. 把第i行乘以一个非0系数k。即对于j = 1..n， 令a[i][j] = k*a[i][j], y[i]=k*y[i]

3. 把第p行乘以一个非0系数k之后加在第i行上。即对于j=1..n， 令a[i][j] = a[i][j]+k*a[p][j]，y[i]=y[i]+k*p[i]

以上三个操作叫做初等行变换。

我们可以使用它们，对这个方程组中的a[i][j]进行加减乘除变换，举个例子：

a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y[1]    式子(1)a[2][1] * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y[2]    式子(2)

我们可以通过 式子(1) - 式子(2) * (a[1][1] / a[2][1])，将第1行第1列的a[1][1]变换为0。

对整个方程组进行多次变换之后，可以使得a[i][j]满足：

a[i][j] = 1 (i == j)a[i][j] = 0 (i != j)

则整个方程组变成了：

x[1] = y'[1]x[2] = y'[2]...x[n] = y'[n]0 = y'[n + 1]0 = y'[n + 2]...0 = y'[m]

这样的话，y'[1] .. y'[n]就是我们要求的x[1]..x[n]

小Hi：挺不错的嘛，继续？

小Ho：好，关于如何变换，我们可以利用一个叫高斯消元的算法。高斯消元分成了2个步骤：

首先我们要计算出上三角矩阵，也就是将方程组变为：

a[1][1] * x[1] + a[1][2] * x[2] + ... + a[1][n] * x[n] = y'[1]      0 * x[1] + a[2][2] * x[2] + ... + a[2][n] * x[n] = y'[2]      0 * x[1] +       0 * x[2] + ... + a[3][n] * x[n] = y'[3]                                   ...      0 * x[1] +       0 * x[2] + ... + a[n][n] * x[n] = y'[n]      0 * x[1] +       0 * x[2] + ... +       0 * x[n] = y'[n + 1]                               ...      0 * x[1] +       0 * x[2] + ... +       0 * x[n] = y'[m]

也就是通过变换，将所有a[i][j](i>j)变换为0。同时要保证对角线上的元素a[i][i]不为0。

方法也很见简单，从第1行开始，我们利用当前行第i列不为0，就可以通过变换将i+1..M行第一列全部变换为0，接着对于第2行，我们用同样的方法将第3..M行第2列也变换为0...不断重复直到第n行为止。

假如计算到第i行时，第i列已经为0，则我们需要在第i+1..M行中找到一行第i列不为0的行k，并交换第i行和第k行，来保证a[i][i] != 0。但这时候还有可能出现一个情况，就是第i..M行中的i列均为0，此时可以判定，该方程组有多解。

当得到上三角矩阵后，就可以从第n行开始逆推，一步一步将a[i][j](i<j)也变换为0.

因为第n行为a[n][n] * x[n] = y'[n]，则x[n] = y'[n] / a[n][n]。

第n-1行为a[n-1][n-1] * x[n - 1] + a[n][n] * x[n] = y'[n - 1]。我们将得到的x[n]代入，即可计算出x[n-1]。

同样的依次类推就可以得到所有的x[1]..x[n]。

而对于多解和无解的判定：

当在求出的上三角矩阵中出现了 a[i][1] = a[i][2] = ... = a[i][n] = 0, 但是y'[i] != 0时，产生了矛盾，即出现了无解的情况。

而多解的证明如下：

假设n=3,m=3，而我们计算出了上三角矩阵为：

a * x[1] + b * x[2] + c * x[3] = d                      e * x[3] = f                             0 = 0

当我们在第一个式子中消去x[3]后，有a * x[1] + b * x[2] = g，显然x[1]和x[2]有无穷多种可能的取值。

小Hi：既然小Ho你都已经把整个算法讲了，那么我就只能给出伪代码了：

// 处理出上三角矩阵For i = 1..N    Flag ← False    For j = i..M                // 从第i行开始，找到第i列不等于0的行j        If a[j][i] != 0 Then            Swap(j, i)          // 交换第i行和第j行            Flag ← True            Break        End If    End For    // 若无法找到，则存在多个解    If (not Flag) Then        manySolutionsFlag ← True // 出现了秩小于N的情况        continue;    End If    // 消除第i+1行到第M行的第i列    For j = i+1 .. M        a[j][] ← a[j][] - a[i][] * (a[j][i] / a[i][i])        b[j] ← b[j] - b[i] * (a[j][i] / a[i][i])    End ForEnd For // 检查是否无解，即存在 0 = x 的情况For i = 1..M    If (第i行系数均为0 and (b[i] != 0)) Then        return "No solutions"    End IfEnd For// 判定多解If (manySolutionsFlag) Thenreturn "Many solutions"End If// 此时存在唯一解// 由于每一行都比前一行少一个系数，所以在M行中只有前N行有系数// 解析来从第N行开始处理每一行的解For i = N .. 1    // 利用已经计算出的结果，将第i行中第i+1列至第N列的系数消除    For j = i + 1 .. N        b[i] ← b[i] - a[i][j] * value[j]        a[i][j] ← 0    End For    value[i] ← b[i] / a[i][i]End For

那最后能够拜托你实现一下这个算法么？

小Ho：没问题，等我吃完这包薯片就去！

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include<string>
#include <math.h>
#include <set>
#include<map>


#define MOD 1000000007
#define LL long long int


using namespace std;


void in(int &a)
{
char ch;
while ((ch = getchar())<'0' || ch>'9');
for (a = 0; ch >= '0'&&ch <= '9'; ch = getchar()) a = a * 10 + ch - '0';
}


double a[1005][505], x[505], y[1005], t[505];
int n, m;


void print()
{
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
printf("%0.2lf ", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
}


int main()
{

while (~scanf("%d %d", &n, &m))
{
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
scanf("%lf", &y[i]);
}


if (m < n)
{
printf("Many solutions\n");
continue;
}


bool many = false;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
if (a[i][i] > -0.000001 && a[i][i] < 0.000001)//为0
{
many = true;
for (int j = i + 1; j < m; ++j)//如果下面有不为0的就替换掉当前行
{
if (a[j][i] < -0.000001 || a[j][i] > 0.000001)
{
many = false;
memcpy(t, a[j], sizeof(t));
memcpy(a[j], a[i], sizeof(t));
memcpy(a[i], t, sizeof(t));
break;
}
}
if (many)//如果全为0无法构成上三角为多解
break;
}
for (int j = i + 1; j < n; ++j)//对角线化为1
{
a[i][j] /= a[i][i];
}
y[i] /= a[i][i];
a[i][i] = 1;


//print();


for (int j = i + 1; j < m; ++j)//初等变换吧下面的都变为0
{
for (int k = i + 1; k < n; ++k)
{
a[j][k] -= a[j][i] * a[i][k];
}
y[j] -= a[j][i] * y[i];
a[j][i] = 0;
}


//print();
}
bool no = false;//判断无解的情况
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
bool flag = true;
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
if (a[i][j] < -0.000001 || a[i][j] > 0.000001)//系数是否全为0
{
flag = false;
break;
}
}
if (flag)
{
if (y[i] < -0.000001 || y[i] > 0.000001)//系数全为0,值不为0时无解
{
no = true;
break;
}
}
}
if (no)
{
printf("No solutions\n");
continue;
}
if (many)
{
printf("Many solutions\n");
continue;
}

for (int i = n - 1; i >= 0; --i)//逆推消元
{
for (int j = n - 1; j > i; --j)
{
y[i] -= x[j] * a[i][j];
}
x[i] = y[i] / a[i][i];
}


for (int i = 0; i < n; ++i)
{
printf("%d\n", (int)(x[i] < 0 ? (x[i] - 0.1):(x[i] + 0.1)));
}
}
return 0;

}