同余方程组求解

第一种：模为互质的

问题：一堆物品3个3个分剩2个5个5个分剩3个7个7个分剩2个问这个物品有多少个

需要构造一个答案

假设

5*7*a%3=1

3*7*b%5=1

3*5*c%7=1

乘上剩余个数

2*5*7*a%3=2

3*3*7*b%5=3

2*3*5*c%7=2

那么X＝2*5*7*a＋3*3*7*b＋2*3*5*c，即为所求。

再求个lcm(3,5,7) 的模，即为最小答案。

typedef long long ll;ll a[4],m[4];ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y),t;    t=x;    x=y;    y=t-(a/b)*y;    return g;}ll China(){    ll sum=1,ret=0;    for(int i=0;i<n;i++) sum*=m[i];    for(int i=0;i<n;i++)    {        ll Mi=sum/m[i],x,y;        ex_gcd(Mi,m[i],x,y);        ret=(ret+Mi*x*a[i])%sum;    }    return (ret%sum+sum)%sum;}

第二类：模为不互质的（通过合并方程）

吐槽一下，Mathtype不能插入中文，鼓捣了好久.. 

然后自创模版

ll mod(ll x,ll mm){    return (x%mm+mm)%mm;}pair<ll,ll> Both(ll B[], ll C[], int n){//求解x=B[i](mod C[i]),总共n个线性方程组    ll x,y,g,b=0,c=1;    for(int i=0;i<n;i++)    {        ll aa=c,bb=B[i]-b,cc=C[i];        g=ex_gcd(aa,cc,x,y);        if(bb%g) return make_pair(-1,0);        x=bb/g*mod(x,cc);        b+=c*x;        c*=cc/g;        b=mod(b,c);    }    return make_pair(b,c);}

再考虑一下 A[i]*x=B[i](mod C[i])这类的同余方程组的求解

大体没什么区别

附上自打模版

ll mod(ll x,ll mm){    return (x%mm+mm)%mm;}pair<ll,ll> Both(ll A[],ll B[], ll C[], int n){//求解A[i]x=B[i](mod C[i]),总共n个线性方程组    ll x,y,g,a=1,b=0,c=1;    for(int i=0;i<n;i++)    {        ll aa=c*A[i],bb=B[i]*a-b*A[i],cc=C[i]*a;        g=ex_gcd(aa,cc,x,y);        if(bb%g) return make_pair(-1,0);        x=bb/g*mod(x,cc);        b+=c*x;        c*=a*cc/g;        b=mod(b,c);    }    return make_pair(b,c);}

a一直没变，可以简化成

ll mod(ll x,ll mm){    return (x%mm+mm)%mm;}pair<ll,ll> Both(ll A[],ll B[], ll C[], int n){//求解A[i]x=B[i](mod C[i]),总共n个线性方程组    ll x,y,g,b=0,c=1;    for(int i=0;i<n;i++)    {        ll aa=c*A[i],bb=B[i]-b*A[i],cc=C[i];        g=ex_gcd(aa,cc,x,y);        if(bb%g) return make_pair(-1,0);        x=bb/g*mod(x,cc);        b+=c*x;        c*=cc/g;        b=mod(b,c);    }    return make_pair(b,c);}

以上都为了避免n=1的情况，所以初始都设了一个特殊的同余方程..