LeetCode | Unique Binary Search Trees

参考博文：http://fisherlei.blogspot.sg/2013/03/leetcode-unique-binary-search-trees.html

题目

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

讲真这个卡塔兰数的规律好难想…

水中的鱼博客思路摘选

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[Thoughts]
这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况)
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]*Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0…k] * [ k+1….i] 0<=k

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        int dp[n+1];        memset(dp,0,sizeof(dp));        dp[0]=1;dp[1]=1;        for(int i=2;i<=n;i++){            for(int j=0;j<i;j++)            dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1];        }        return dp[n];    }};