数论 知识概念梳理

数的整除性问题

整除

1. a | b 代表 a整除b，即b除以a。

最大公约数与最小公倍数

1. ab = lcm(a,b) * gcd(a,b)
2. (a,b)表示最大公因数。
3. [a,b]表示最小公倍数。

扩展欧几里得

扩展欧几里得 详解

素数问题

素数

1. 素数定理：对于一个正实数x,小于x的素数的个数略大于 x/lnx。
   例题：小于10^n的素数的个数值有多少位？
2. 哥德巴赫猜想：每个 >=6 的正偶数可以写成两个素数的和。还未证实。
3. 0和1既不是素数也不是合数。

素数测试

1. 埃拉托色尼筛法： 逐个判断。
2. 6N+-1法：素数只可能是6N+-1,直接跳跃性筛选。耗时在筛，不在于枚举sqrt的位置，所以效率没有明显提高。
3. 复杂度分析：筛法复杂度为常数不大的线性复杂度，朴素测试的复杂度为n*sart(max),所以当 数的个数 > sqrt(数的可能最大值)应该用筛法，否则应该用朴素测试。
4. 素数测试详细代码

算数基本定理

1. 唯一分解定理 模板
2. n!的素因子分解中素数p的幂(有多少个p相乘)为：n/p + n/p^2 + n/p^3 …知道p^ 大于n。
   例题：计算N！末尾0的个数。

梅森素数

梅森素数 详解

同余问题

同余概述

1. a ≡ b(mod m)表示用m去除a和b所得余数相同。
2. 同余问题容易找到循环节。

线性同余方程

1. 由 ax ≡ b(mod m) 可以得到 ax + my = b。gcd(a,b) | b;
2. 求解x时，先求得x0，然后左右同乘得到原方程的特解，然后再求出通解。
3. 一元线性同余方程组，类似中国剩余定理
4. 同余方程组恰有d个解，d是最大公因数。
5. 多元线性同余方程组(待更新)
6. 多项式同余方程：
   a. 模p的多元方程，可以将P素因子分解，分别求模素因子的解，利用中国剩余定理求得模p的解。
   b. (待更新)

高次同余方程

待更新

快速幂模m算法

快速幂 矩阵快速幂 模板

中国剩余定理

中国剩余定理

不定方程

解不定方程

1. 二元一次不定方程，同前面扩展欧几里得所讲。
2. n元一次不定方程，设a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = c所有系数的最大公因数应该整除c。将方程转换为方程组递归求解，a1x1 + a2x2 = d2t2,d2t2 + a3x3 = d3t3,d3t3 + a4x4 = c.
3. m个n元一次不定方程，先消元，然后转换成n-m+1元一次不定方程，再求解，要先根据题意提炼出来方程，有整数解的关系类比二元一次方程。

特殊的不定方程

毕达哥拉斯三元组

费马大定理

佩尔方程

同余式定理及应用

同余式定理