POJ 1845 Sumdiv（逆元的应用）

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Sumdiv

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Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B.

Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint

2^3 = 8.

The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.

15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

Source

Romania OI 2002

题目大意：

求 AB 的因子和对 MOD 取模。

解题思路：

首先　对 A 进行素因子分解：

A=pa11∗pa22∗...∗pakk

素因子分解完之后 AB 就等于

pa1∗B1∗pa2∗B2∗...∗pak∗Bk

然后他们的素因子的和就可以写作：

ans=(1+p1+p21+...+pa1∗B1)∗((1+p2+p22+...+pa2∗B2))∗...∗(1+pk+p2k+...+pak∗Bk)

每一个括号中的数是一个等比数列，然后等比数列求和得到：

ans=pa1∗B+11p1−1∗pa2∗B+12p2−1∗...pak∗B+1kpk−1

现在我们要求的就是 ans%MOD ，但是 ans 带着分数，那么就要求逆元，可是这里有一个问

题是 逆元可能不存在，那么怎么办呢，我们就用到了一个公式：

AB%MOD=A%(MOD∗B)B

根据这个公式就可以做了，首先要素数筛，然后素因子分解，快速幂，这里需要注意的是，当我们

进行快速幂的时候，中间有可能爆 long long 所以，在快速幂的过程中加上快速乘法，这样就可

以了。

My Code：

/**2016 - 08 - 08 下午Author: ITAKMotto:今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。**/#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <vector>#include <queue>#include <algorithm>#include <set>using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;const int INF = 1e9+5;const int MAXN = 1e6+5;const LL MOD = 9901;const double eps = 1e-7;const double PI = acos(-1.0);using namespace std;LL p[MAXN];int k = 0;bool prime[MAXN];void isprime(){    k = 0;    memset(prime, 0, sizeof(prime));    prime[1] = 1;    for(int i=2; i<MAXN; i++)    {        if(!prime[i])        {            p[k++] = i;            for(int j=i+i; j<MAXN; j+=i)                prime[j] = 1;        }    }}LL fac[MAXN/100], num[MAXN/100];int cnt = 0;void Dec(LL x){    cnt = 0;    memset(num, 0, sizeof(num));    for(int i=0; p[i]*p[i]<=x; i++)    {        if(x%p[i] == 0)        {            fac[cnt] = p[i];            while(x%p[i] == 0)            {                num[cnt]++;                x /= p[i];            }            cnt++;        }    }    if(x > 1)    {        fac[cnt] = x;        num[cnt++] = 1;    }}LL multi(LL a, LL b, LL c){    LL ans = 0;    while(b)    {        if(b & 1)            ans = (ans+a)%c;        b>>=1;        a = (a+a)%c;    }    return ans;}LL quick_mod(LL a, LL b, LL c){    LL ans = 1;    while(b)    {        if(b & 1)            ans = multi(ans, a, c);///可能爆 long long        b>>=1;        a = multi(a, a, c);    }    return ans;}int main(){    isprime();    LL A, B;    while(~scanf("%lld%lld",&A,&B))    {        Dec(A);        LL ans = 1, x, y, tmp;        for(int i=0; i<cnt; i++)        {            LL MM = MOD*(fac[i]-1);///MM * MM 容易爆 long long            tmp = quick_mod(fac[i], num[i]*B+1, MM);            tmp--;            tmp = (tmp%MM+MM)%MM;            tmp /= (fac[i]-1);            ans = (ans*tmp)%MOD;        }        ans = (ans%MOD+MOD)%MOD;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}