求出n个互异的数使得最小公倍数等于所有元素之和

(1)方法1:这个是看了别人的办法得到的启示,对于任何一个n元组,假设其满足题意,设lcm(a1...an)=∑ni=1ai=x.

则考虑添加两个k1x,k2x使得n+2元组依旧满足,其实这里问题转换成：寻找一个包含1的三元组,1,k1,k2满足题意,这里利用到了如何求n个数的lcm,n+2个数的lcm就等于前n个的lcm:x 和后两个数k1x,k2x的lcm,这个容易证明。

显然1，2，3是最简单的三元组,但是对于偶数的情况,就不那么显然了,反正我手动没有能够构造出来,这就要利用暴力求解了。

下面的代码给出了如何暴力求解:要求出n个数的最小公倍数(这里要先求最大公约数)可以转换成从两个数的最小公倍数开始,类似于

∑ai=add(...(add(add(a0,a1),a3)...an)这种思路,迭代着求。

def gcd(a,b):    while a!=b:        if a>b:a,b = b,a-b        else:a,b = b,b-a    return adef lcm(a,b):    return a*b//gcd(a,b)def all():    n = 30    for i in range(1,n):        for j in range(i+1,n):            m1,s1 = lcm(i,j),i+j            for k in range(j+1,n):                m2,s2 = lcm(m1,k),s1+k                for u in range(k+1,n):                    if lcm(m2,u)==s2+u:return (i,j,k,u)

剩下的代码就很简单了,利用n=3,n=4的情况不断迭代即可。

方法2:这个方法更加简单，但是也很巧妙。注意到对于每一个n元组,如果直接规约到n+1的情况?我们可以从最小公倍数入手,假如我们对除1以外的每一个数都乘以3,那么最小公倍数就变成原来的3倍,这时候为了使得和满足条件,加上一个2即可。

注意,因为1,2,3的最小公倍数是6，所以加上一个2不会影响最小公倍数。同样的道理还可以乘4,乘7

def next(n):    first = (1,2,3)    for j in range(n-3):first = [1,2]+[i*3 for i in first[1:]]    return sorted(first)