欧几里得和扩展欧几里得算法分析
来源:互联网 发布:数学建模 数据挖掘 编辑:程序博客网 时间:2024/05/06 19:05
参考自:百度百科
见以下代码:
int gcd(int x,int y){ if(y) return gcd(y,x%y); return x;}欧几里得算法很容易理解,同辗转相除法。
那么重点是扩展欧几里得(EX_GCD):
简单而言扩展欧几里得算法就是一种求二元一次方程(Ax+By=C)的一种方法:
在此我们先讨论最原始的情况:Ax+By=gcd(A,B);
原理:
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
模板:
void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0)//递归出口 { x = 1; y = 0; return; } int x1, y1; Ex_gcd(b, a%b, x1, y1); x = y1; y = x1-(a/b)*y1;}
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到Ax+By = Gcd(A, B)的一组解x0,y0后,Ax+By = Gcd(A, B)的其他整数解满足:
x = x0 + B/Gcd(A, B) * t
y = y0 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)
明白了原始的Ax+By=gcd(A,B)情况,我们可以扩展到一般的情况,即
Ax+By=C
对于Ax+By=c的整数解,只需将Ax+By = Gcd(A, B)的每个解乘上 C/Gcd(A, B) 即可,但是所得解并不是该方程的所有解,找其所有解的方法如下:
在找到Ax+By= Gcd(A, B)的一组解x0,y0后,可以
得到Ax+By = C的一组解x1 = x0*(C/Gcd(A,B)),y1 = y0*(C/Gcd(A,B)),Ax+By = C的其他整数解满足:
x = x1 + B/Gcd(A, B) * t
y = y1 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)
y就是Ax+By=C的所有整数解。
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