机器学习(周志华) 参考答案 第七章 贝叶斯分类器

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    看了半天依然没看懂如何去优化贝叶斯网，9，10题先空着

1.试使用极大似然法估算西瓜数据集3.0中前3个属性的类条件概率。

极大似然法要先假定一种概率分布形式。
色泽：
对于好瓜，假设
P(色泽=青绿|好瓜)=σ1
P(色泽=乌黑|好瓜)=σ2
P(色泽=浅白|好瓜)=σ3=1−σ1−σ2
L(σ)=⋂iP(色泽=xi|好瓜)=σ31σ42(1−σ1−σ2)
L′(σ1)=σ42σ21(3−4σ1−3σ2)
L′(σ2)=σ31σ32(4−4σ1−5σ2)
令L′(σ1)=0，L′(σ2)=0得σ1=38，σ1=12，σ3=18
可以看出σ1,σ2,σ3分别对应他们在样本中出现的频率。

对于坏瓜以及另外两种属性计算方式相同，得出类似的结果。

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2.试证明：条件独立性假设不成立时，朴素贝叶斯分类器任有可能产生最优分类器。

朴素贝叶斯分类器就是建立在条件独立性假设上的。当有不独立的属性时，假如所有样本不独立的属性取值相同时分类也是相同的，那么此时朴素贝叶斯分类器也将产生最优分类器。

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3.试编程实现拉普拉斯修正的朴素贝叶斯分类器，并以西瓜数据集3.0为训练集，并对“测1”样本进行分类。

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4.实践中用式(7.15)决定分类类别时，若数据的维度非常高，则连乘的概率结果会非常接近0并导致下溢。试述防止下溢的可能方案。

若连乘的式子太多，导致乘积接近0。由于属性个数是已知的，可以对每个乘式做适当次的开方处理，可以保证结果不会为0。另外也可以对各项取对数，当累加太多时，可能导致和接近负无穷。可以对每个加数除以属性的个数，来防止溢出。

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5.试证明:二分类任务中两类数据满足高斯分布且方差相同时，线性判别分析产生最优贝叶斯分类器。

假设1类样本均值为u1，2类样本均值为u2
由于数据满足同方差的高斯分布，当样本足够大时，可以认为

线性判别分析公式J=|wT(u1−u2)|2wT(Σ1+Σ2)w求最大值
对1J=wT(Σ1+Σ2)w|wT(u1−u2)|2=∑i(1−yi)|wT(xi−u1)|2+yi|wT(xi−u2)|2|wT(u1−u2)|2求最小值

最优贝叶斯分类器使每个训练样本的后验概率P(c|x)最大，对应线性判别分析中，即离对应分类的中心距离(平方)除以两个分类中心的距离(平方)越小。
即求∑i(1−yi)|wT(xi−u1)|2+yi|wT(xi−u2)|2|wT(u1−u2)|2的最小值

两个式子相同，所以线性判别分析产生最优贝叶斯分类器。

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6.试编程实现AODE分类器，并以西瓜数据集3.0为训练集，并对“测1”样本进行分类。

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7.给定d个二值属性的分类任务，假设对于任何先验概率的估算需要30个样本。试估计AODE中估算先验概率p(c,xi)所需要的样本数。

显然对于正负样本，各属性对应的取值xi需要出现30次。
最好的情况下，只需要60个样本就能就能估算概率。其中30个xi属性的样本取值为1，30个xi属性的样本取值为0。尽管这不符合实际情况(相同属性取值不同)。
最坏的情况下，要60d个样本才能估算。其中每个样本只有一个属性和测试样本xi相同，其余都是另一个取值。

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8.考虑图7.3，证明：在同父结构中，若x1的取值未知，则x3⊥x4不成立。在顺序结构中，y⊥z|x成立，但y⊥z不成立。

①.x1已知时，p(x1,x3,x4)=p(x1)p(x3|x1)p(x4|x1)
p(x3,x4|x1)=p(x1,x3,x4)p(x1)=p(x3|x1)p(x4|x1)
所以x3⊥x4|x1。

x1未知时，p(x1,x3,x4)=p(x1)p(x3|x1)p(x4|x1)
p(x3,x4)=∑x1p(x1,x3,x4)=∑x1p(x1)p(x3|x1)p(x4|x1)
由于不知道p(x3|x1)p(x4|x1)，所以无法得出p(x3,x4)=p(x3)p(x4)。

②.x已知时,p(x,y,z)=p(z)p(x|z)p(y|x)
p(y,z|x)=p(x,y,z)p(x)=p(z)p(x|z)p(x)p(y|x)=p(z|x)p(y|x)
所以y⊥z|x

x未知时,p(x,y,z)=p(z)p(x|z)p(y|x)
p(y,z)=∑xp(x,y,z)=p(z)∑xp(x|z)p(y|x)
无法得出p(y,z)=p(y)p(z)