最长上升子序列的初步学习

最长上升子序列 LIS

对于求解LIS的可以用O（n^2）的复杂度求解：
设d[i]为以i为结尾的最长上升子序列的长度，则d[i]=max{0,d[j] }+1 （j< i）

有时数据范围比较大，这时就要考虑O(nlogn)的算法了：
网上很多博客已经给出了很详细的说明，我只给出实现的代码：

   /*   d[i]为以i为结尾的最长上升子序列的长度   g保存伪最长上升子序列   */    for(int i=1;i<=n;i++)g[i]=INF;    for(int i=0;i<n;i++){        int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;        d[i]=k;        g[k]=a[i];    }

上面的代码说g保存伪最长上升子序列 ，这句的意思是g中的最长上升子序列并不是真正的最长上升子序列，因为g保存的是更新d值的过程中用来维护最优解的（不知道这样说合适吗QAQ），如果要想打印最长上升子序列还得用O（n^2）的算法。

来道题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257
HDU 1257 最少拦截系统
题意：
导弹拦截系统，每次发射高度不高于前一发，问最少需要几套？
分析：
题目相当于要求一个最长上升子序列，可能一下子想不出来，建议用模拟的想法来做这道题，可能就会知道怎么做了。我做这题的时候没看出是最长上升子序列，是先按模拟+贪心（实际上就是LIS nlogn的实质）的思想去做的，写完后发现跟LIS一样！
来点提示：
看一下样例吧：8 389 207 155 300 299 170 158 65
389 207 155 65
300 299 170 158
显然需要两组，我们模拟的时候，第一次是389，然后第二次是207，这时207覆盖掉389就行，然后155，,155覆盖掉207 。300不能覆盖155，所以另起一组，然后299。。。就这样，一直到最后。注意一点，最后那个65为什么在第一组而不是第二组呢？理解了这点那么这个算法就明白了！！

const int N=1e5+2;int a[N];int main(){    int n,t;    while(~scanf("%d",&n)){        int cnt=1;        scanf("%d",&a[0]);        for(int i=1;i<n;i++){            scanf("%d",&t);            if(a[cnt-1]<t)a[cnt++]=t;            else{                int k=lower_bound(a,a+cnt,t)-a;                a[k]=t;            }        }        cout<<cnt<<endl;    }    return 0;}

题目：UVa 10534 波浪子序列
题意：
找一个最长（假设长度为2k+1）的子序列,使得前k+1个元素递增，后k+1个元素递减。
分析：
正着求一遍LIS，倒着求一遍，然后因为左右个数相等，所以看一下左右那边个数少，求ans=max{ min(d[i],d[n-i-1])*2-1 }

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int N=1e4+9;void LIS (int g[],int a[],int d[],int n){    for(int i=1;i<=n;i++)g[i]=INF;    for(int i=0;i<n;i++){        int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;        d[i]=k;        g[k]=a[i];    }}int a[N],b[N],d1[N],d2[N],g[N],n;int main(){    //freopen("f.txt","r",stdin);    while(~scanf("%d",&n)){        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);        LIS(g,a,d1,n);        for(int i=0;i<n;i++)b[i]=a[n-i-1];        LIS(g,b,d2,n);        int ans=0;        for(int i=0;i<n;i++){            int t=min(d1[i],d2[n-i-1]);            ans=max(ans,2*t);        }        printf("%d\n",ans-1);    }    return 0;}

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O(nlogn)的算法是不是足够完美呢？并不是！因为它无法得到真正的最长上升子序列！对于打印解的题目，肯定是O(n^2)的！

来道题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1160
HDU 1160 FatMouse’s Speed
题意：
老鼠要两个参数，w体重，s速度，w按照升序，s按照降序，求最长的排列？
分析：
显然是道最长上升子序列类型的题目，因为要打印解，那么肯定是O（n^2），那么按照w排完序后，在按照O(n^2)的状态转移方程去求解即可。

const int N=1e5+2;struct data{    int w,s,id;    bool operator < (const data& rhs) const {        if(w==rhs.w)return s>rhs.s;        return w<rhs.w;    }}a[N];int res[N],d[N],pre[N];int main(){    memset(pre,-1,sizeof(pre));    int n=0;    while(~scanf("%d%d",&a[n].w,&a[n].s))a[n].id=n+1,n++;    sort(a,a+n);    int pos=0,maxn=0;    for(int i=0;i<n;i++){        d[i]=1;        for(int j=0;j<i;j++)        if(a[j].w<a[i].w&&a[j].s>a[i].s&&d[i]<d[j]+1){            pre[i]=j;d[i]=d[j]+1;        }        if(maxn<d[i]){            maxn=d[i];            pos=i;        }    }    int cnt=0;    while(pos!=-1){        res[cnt++]=pos;        pos=pre[pos];    }    printf("%d\n",maxn);    while(cnt>0){        cnt--;        printf("%d\n",a[res[cnt]].id);    }    return 0;}