向量点乘相关公式推导及 几何解释

来源:互联网 发布:函数图像绘制软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/13 08:10

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1.向量点乘公式推导和几何解释

01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式:


用连加号写:



02.几何解释:

点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

a•b = |a||b|cosθ

如果a和b都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

a•b = cosθ


03.推导过程:

假设a和b都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角,θ2是b与x轴的夹角,向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

a•b = ax*bx + ay*by 

=  (|a|*sinθ1) * (|b| * sinθ2) +   (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

= |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

=|a||b|(cos(θ1-θ2))

= |a||b|cosθ


2.点乘交换率和分配率的推导

01.交换率



02.分配率




注:更多内容参见:<3D math primer for graphics and game development  second edition>点击打开链接

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