博弈总结

Bash's Game（巴什博弈）

【描述】只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取1个，最多取m个，最后取光者得胜。

【策略】如果 n = (m + 1) * r + s ，(r为任意自然数，s≤m)，即n%(m+1) != 0，则先取者肯定获胜。因为，如果n=(m+1)r + s，(r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k(≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下(m+1)的倍数，就能最后获胜。

【另一种问法】两个人轮流报数，每次至少报1个，最多报m个，谁能报到n者胜。

【策略】只要给对方留下的报数空间是m+1的倍数，就可以保证获胜。

【变形拓展】减法博弈：有一个由n个石子组成的石子堆，两名玩家轮流从中拿走石子，每次拿走石子的个数只能是集合S（比如S = {1, 3, 4}）中的数。拿走最后一枚石子的玩家获胜。

【策略】筛选法，对于一个P点x，那么P+Si都是N点（比如x+1，x+3，x+4），这样用筛选法可以计算出一定范围内所有的P点和N点。

Wythoff’s Game （威佐夫博弈）

【描述】所谓威佐夫博弈，是ACM题中常见的组合游戏中的一种，大致上是这样的：

有两堆石子，不妨先认为一堆有 10，另一堆有 15 个，双方轮流取走一些石子，合法的取法有如下两种：

1、在一堆石子中取走任意多颗；

2、在两堆石子中取走相同多的任意颗；

约定取走最后一颗石子的人为赢家，求必胜策略。

【策略】设k为任意正整数，有以下两个函数：

1、m(k) = k * (1 + sqrt(5)) / 2；

2、n(k) = m(k) + k；

点(m(k), n(k))和点(n(k), m(k))都是P点其余都是N点（我并不能证明>_<!）

【P点的性质】

1、所有自然数都会出现在一个必败点中，且仅会出现在一个必败点中。

证明：m(k)是前面没有出现过的最小自然数，自然与前k-1个必败点中的数字都不同；m(k)>m(k-1)，否则违背m(k-1)的选择原则；n(k)=m(k)+k>m(k-1)+(k-1)=n(k-1)>m(k-1)，因此n(k)比以往出现的任何数都大，即也没有出现过。又由于m(k)的选择原则，所有自然数都会出现在某个必败点中。

2、规则允许的任意操作可将必败点移动到必胜点。

证明：以必败点(m(k),n(k))为例。若只改变两个数中的一个，另一个数出现在另一个状态中，由于性质1，所有的自然数仅会出现在一个必败点中，所以得到的点一定是必胜点；若同时增加两个数，由于不能改变两数之差，每一个必败点的两个数之差是一一对应的，又有n(k)-m(k)=k，故得到的点也一定是必胜点。

3、一定存在规则允许的某种操作可将必胜点移动到必败点。

证明：以某个必胜点(i,j)为例，其中j>i。因为所有自然数都会出现在某个必败点中，故要么i等于m(k)，要么j等于n(k)。

若i=m(k)，j>n(k)，可从j中取走j-n(k)个石子到达必败点；

若i=m(k)，j<n(k)，可从两堆同时拿走m(k)-m(j-m(k))，注意此时j-m(k) < n(k)-m(k) < k，从而到达必败点( m(j-m(k))，m(j-m(k))+j-m(k))；

若i>m(k)，j=n(k)，可从i中取走i-m(k)个石子到达必败点；

若i<m(k)，j=n(k)，需要再分两种情况，因为i一定也出现在某个必败点中，若i=m(l)，则从j中拿走j-n(l)；若i=n(l)，则从j中拿走j-m(l)，从而到达必败点(n(l)，m(l))。

【例题】HDU1527

Ferguson博弈（清空/分割游戏）

【描述】在游戏的开始，第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m个石子(n, m > 0)。参与游戏的两名玩家轮流执行这样的操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个盒子都不空。当两个盒子中都只有一枚石子时，游戏结束。最后成功执行操作的玩家获胜。

【策略】对于一个位置(x, y)来说，如果x, y中有一个偶数，那么(x, y)是N（必胜）位置。如果x和y都是奇数，那么(x, y)是P位置（必败）。

证明（归纳法）：

1、当max(x,y)=2时，即(x,y)=(1,2)或（2,1）或（2,2），先手留下一个2分为（1,1），先手获胜，即当max(x,y)=2时结论成立。

2、假设max(x,y)<k时结论都成立，现证max(x,y)=k时结论成立。

若（x,y)中有一个偶数(设为a)，先手将另一个清空，把偶数a分为两个奇数b和c，由于b、c<a 小于等于 k，即max(b,c)<k,由假设，在（b,c)位置上后手作为新先手必败，故先手胜

若(x,y)都为奇数，先手只能保留一个奇数并将其分解为一奇a一偶b,由于max(a,b)<max(x,y)=k,由假设，在（a,b)位置上后手作为新先手必胜，故先手败。

Fibonacci’s Game （斐波那契博弈）

【描述】有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；

2. 之后每次可以取的石子数介于 1 到对手刚取的石子数的 2 倍之间（包含 1 和对手刚取的石子数的 2 倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

【策略】必败态构成Fibonacci数列。

证明：去问数学大神吧^_<

尼姆博弈(Nimm's Game)

【描述】有3堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取1个，多者不限，最后取光者得胜。

【拓展】有n堆若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

【策略】状态(x1, x2, x3, …, xn)为P状态当且仅当x1 xor x2 xor x3 xor … xor xn =0。这样的操作也称为Nim和(Nim Sum) 。

如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim博弈是平衡的，而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。因此，Nim博弈是平衡的，当且仅当：

as +bs + … + ms 是偶数，即as XOR bs XOR … XOR ms  = 0

……

a1 +b1 + … + m1 是偶数，即a1 XOR b1 XOR … XOR m1 = 0

a0 +b0 + … + m0是偶数，即a0 XOR b0 XOR … XOR m0 = 0

必胜操作：先手面对非平衡局面时，在个数为x[i]的那一堆里取出x[i] - x[1]^x[1]^…x[i-1]^x[i+1]^…x[n]个物品，让对方面对平衡局面即可。

下面应用此获胜策略来考虑4堆的Nim博弈。其中各堆的大小分别为7，9，12，15枚硬币。用二进制表示各数分别为：0111，1001，1100和1111。于是可得到如下一表：

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1

大小为7的堆

0

1

1

1

大小为9的堆

1

0

0

1

大小为12的堆

1

1

0

0

大小为15的堆

1

1

1

1

具体做法有多种，先手可以从大小为12的堆中取走11枚硬币，使得游戏达到平衡（如下表）

 

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1

大小为7的堆

0

1

1

1

大小为9的堆

1

0

0

1

大小为12的堆

0

0

0

1

大小为15的堆

1

1

1

1

之后，无论后手如何取子，先手在取子后仍使得游戏达到平衡。

同样的道理，先手也可以选择大小为9的堆并取走5枚硬币而剩下4枚，或者，先手从大小为15的堆中取走13枚而留下2枚。

【再拓展】如果规定最后取光者输，情况是怎样的？

【策略】和上面的一样。

原因：首先按照上面的规则一样的策略进行，直到只有一堆物品的个数大于1，其他堆均为1。在这样的情况下，只需要把堆x中的物品拿得只剩1个物品或者拿完，让对手面临奇数堆物品，这奇数堆物品每堆恰好1个物品。这样的状态显然是必败的。由于你每次操作后需要保证Nim和为0，因此不可能在你操作后首次出现“恰好有一个物品数大于1的堆”。新游戏得到了完美解决。

SG函数与SG定理

【一个一般的游戏】给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。

【引例】在一行中有n个木瓶，你和你的朋友轮流用保龄球去打这些木瓶，由于你们都是高手，每一次都可以准确的击倒一个或相邻的两个木瓶，谁击倒最后一个剩余的木瓶谁将获得胜利。如果由你先打，请你分析，你应该采取什么策略来确保赢得胜利？

分析：为了看清楚问题的本质，用另一种方式来描述这个游戏。最开始有一堆石子（n个），每一次你可以进行以下四种操作中的一种：

1. 从中取出一颗石子；

2. 从中取出两颗石子；

3. 从一堆中取出一颗石子，并且将这一堆中余下的石子任意分成两堆（每堆至少一颗）；

4. 从一堆中取出两颗石子，并且将这一堆中余下的石子任意分成两堆（每堆至少一颗）。

这四种操作，实际上就依次对应于原来游戏中的以下四种击倒法：

1. 击倒一段连续的木瓶中最靠边的一个；

2. 击倒一段连续的木瓶中最靠边的连续两个；

3. 击倒一段连续的木瓶中不靠边的一个；

4. 击倒一段连续的木瓶中不靠边的连续两个。

【SG函数】任何一个公平组合游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数，简称SG函数。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如集合N={0,1,2,3,4,5,6}，则mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

函数g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }，或者表示为：g (X)= min{n| n∈N, n>=0,n≠ for y, y是x的后继}，形象的说就是x的g函数值为x的后继点的SG值中没有出现过的最小值。

以引例为例，如果当前局面被分成了M堆，对某一堆来说：

显然，SG(0)=0。

剩余1个时，只能取到0个，而SG(0)=0，所以SG(1)=1。

剩余2个时，可以取到0或1，其中SG(0)=0，SG(1)=1，所以SG(2)=2（因为mex{0,1}=2）。

【SG函数的性质】

1、所有的终点（先手必败态），也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集；

2、对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0；

3、对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

【引理】对于任意的局面x，若g(x)=0则x是P局面（必败态），否则x是N局面（必胜态）。

【复杂一点】有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？

【Sprague-Grundy定理】游戏和的SG函数等于各子游戏SG函数的Nim和，即：设gi(x)为Gi的SG函数(1 ≤ i ≤ n)，则G = G1+ G2+ … + Gn的SG函数g( x1, x2, …, xn ) = g1(x1)⊕ g2(x2) ⊕ … ⊕ gn(xn)（其中⊕为异或运算）。

例如引例中的一堆石子，剩余3个时，我们可以把局面变成1或2或两堆均为1，其中SG(1)=1，SG(2)=2，SG(1, 1)=SG(1) ⊕ SG(1)=0，所以SG(3)=mex{0,1,2}=3。同理，SG(4)可分解为{SG(2), SG(3),SG(2)⊕SG(1), SG(1)⊕SG(1)} ={2,3,3,0},所以SG(4)=1。

【用途】由Sprague-Grundy定理可知，对于复杂的公平组合博弈，如果我们可以将它们分解成若干个子游戏的联合，就可以通过求解子游戏的SG函数，方便地求得原游戏的SG函数，从而快速判断胜负情况：SG值为0的状态为必败状态（P态），SG值非0的状态为必胜状态（N态）。