单调队列

---

前置技能点：

队列

问题：

对于一个长度为n的序列a，我们希望知道所有以k为长度的子序列的区间最小/大值。

struct Node{    int id;    int v;//value}a[NodeNum];//a[i]的大小由成员变量v决定

思路：

可以以O(k)的复杂度暴力枚举得到minl+k−1i=la[i]，由于a中长度为k的子序列共有n−k+1个，故复杂度为O(n2)。

可以通过线段树进行处理，从而减小查询任意一个区间的最值的复杂度，建树复杂度为O(nlogn)，查询复杂度为O(logn)。

还可以将a序列压入一个按v排序的堆，每次区间整体右移一格，由[l,l+k)变为[l+1,l+k]时将a[l+k]元素压入堆。然后循环判定堆顶元素，若堆顶元素的下标小于等于l则删除，最后堆顶的元素就是minl+ki=l+1a[i]，堆的插入删除复杂度均为O(logn)。

概念引入：

设(minl+k−1i=la[i]).id=x，(minl+k−1i=l+1a[i]).id=x′。
若x==l，则x′>x
否则x′==x。

设(minl+k−1i=l+1a[i]).id=y
若a[l+k].v<=a[y].v，则minl+ki=l+1a[i]).id==l+k
否则minl+ki=l+1a[i]).id==y。

那么就可以维护一个单调递增的队列，用于存储当前区间的最小元素，以及当前区间内队列中每一个元素右边的子序列中的最小元素。

当求解minl+k−1i=la[i]时
若queue[head].id==l−1，则可以将它弹出队列。
同时将a[l+k−1].v与queue[tail].v进行大小判定，若queue[tail].v>=a[l+k−1].v则将队尾删除，循环判定直到队列为空或queue[tail].v<a[l+k−1].v，询问O(1)，空间复杂度O(n)

拓展：

• 对于弹出队首，删除队尾元素以及压入元素条件的判定
  求凸包
• 对于其他性质的运用
  单调栈

例题：

• poj 2823
  给定序列长度n<106，窗口大小k，将窗口放到序列上，从左往右一格一格移动窗体，输出每个状态窗体中数字的最小值和最大值。
  解题报告