高斯消元法——HDU 5833

• 题目链接：
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5833

• 分析：
  给出n个数，从中取一个数或者取多个数相乘得到完全平方数，问有多少种取法。

• 题解：
  因为每个数的大小为[0,1018]，每个数的质因子大小不超过2000，又2000以内的质数只有303个，所以我们可以先预处理一遍：把每个数质因子分解存进数组，若含有同一个质因子的个数为偶数则存为0，为奇数则存为1。如果某个数质因子分解得到的数组里存的全是0，那么这个数本身就是完全平方数；如果多个数的质因子数组互相异或得到的新数组里全是0，那么这几个数相乘能得到一个完全平方数。所以我们可以把题意转换成求一个线性方程组的解：
  a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
  a21x1+a22x2+...+a2nxn=0
  …
  an1x1+an2x2+...+annxn=0
  其中aij表示第i个质数在第j个数里含有的个数是奇数(为1)还是偶数(为0)，Xi表示第i个数有没有被选。
  求出这个方程系数矩阵的秩rank ，则基础解系中含有n-rank个解向量，那么总共有2n−rank种取法(每一个解向量都有取和不取两种情况，任意多个解向量组合都是该方程的解)，再减去全部不取，即全为0的情况，则为题目的答案。

• 参考代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define ll long long#define mod 1000000007using namespace std;const int N=2000;const int M=310;int prime[N+1],cnt;int n,t,mat[M][M];ll a[M];void getPrime()      //预处理找出前几个质数{    for(int i=2;i<=N;i++)    {        if(!prime[i])prime[++cnt]=i;    //第cnt个质数        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]<=N/i;j++)        {            prime[prime[j]*i]=1;        //用当前的数乘以之前找到的所有质数来排除后面的合数。            if(i%prime[j]==0)break;     //如果当前的数与之前的质数不互质则跳出        }    }}int Rank(int c[][M]){                            //异或版的高斯消元求秩    int i=0,j=0,k,r,u;    while(i<=cnt&&j<=n)    {        r=i;        while(c[r][j]==0&&r<=cnt)r++;        if(c[r][j])        {            swap(c[i],c[r]);            for(u=i+1;u<=cnt;u++)            {                    if(c[u][j])                {                        for(k=i;k<=n;k++)                        c[u][k]^=c[i][k];                }            }            i++;        }           j++;    }    return i;}int solve(){    memset(mat,0,sizeof mat);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=cnt;j++)        {            ll tmp=a[i];            while(tmp%prime[j]==0)            {                tmp/=prime[j];                mat[j][i]^=1;            }        }    int b=n-Rank(mat);  //b个解向量    ll ans=1;    ll k=2;    while(b)           //快速幂    {        if(b&1)        {            ans=ans*k%mod;        }        k=k*k%mod;        b>>=1;    }    return ans-1;//减去全为0的解}int main() {    getPrime();    scanf("%d",&t);    for(int cas=1;cas<=t;cas++)    {        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%lld",&a[i]);        printf("Case #%d:\n%d\n",cas,solve());    }    return 0;}