凸包问题

首先介绍下什么是凸包问题？如下图：

在一个二维坐标系，有若干点杂乱排列着，将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含给定的所有的点，这个多边形就是凸包。

寻找凸包的算法有很多种，Graham Scan算法是一种十分简单高效的二维凸包算法，能够在O(nlogn)的时间内找到凸包。

在讲解之前，读者需要了解向量叉积正负的几何意义，如不了解，可以参考http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/52078675

Graham Scan算法的做法是先定下一个起点，一般是最左边的点和最右边的点，然后一个个点扫过去，如果新加入的点和之前已经找到的点所构成的“壳”凸性没有变化，就继续扫，否则就把已经找到的最后一个点删去，再比较凸性，直到凸性不发生变化。分别扫描上下两个“壳”，合并在一起，凸包就找到了。这么说很抽象，我们看图来解释：

我们找下“壳”，上下其实是一样的。首先加入两个点A和C：

然后插入第三个点G，并计算AC×CG的叉积，却发现叉积小于0，也就是说逆时针方向上∠ACG大于180度，于是删去C点，加入G点：

然后就是依照这个步骤便能加入D点。在AD上方是以D为起点。就能够找到AGD和DFEA两个凸壳。合并就得到了凸包。

关于扫描的顺序，有坐标序和极角序两种。坐标序是比较两个点的x坐标，如果小的先被扫描（扫描上凸壳的时候反过来）；如果两个点x坐标相同，那么就比较y坐标，小的先被扫描（扫描上凸壳的时候也是反过来）。极角序使用arctan2函数的返回值进行比较，这个读者自己写吧。

下面贴下代码：

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1. #define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE   
2.   
3. #include<iostream>  
4. #include<cmath>  
5. #include<algorithm>  
6. using namespace std;  
7.   
8. struct Point  
9. {  
10.     double x, y;  
11.   
12.     Point operator-(Point & p)  
13.     {  
14.         Point t;  
15.         t.x = x - p.x;  
16.         t.y = y - p.y;  
17.         return t;  
18.     }  
19.   
20.     double det(Point p)//向量叉积  
21.     {  
22.         return x*p.y - p.x*y;  
23.     }  
24.   
25.     double dist(Point & p)//两点距离公式  
26.     {  
27.         return sqrt((x - p.x)*(x - p.x) + (y - p.y)*(y - p.y));  
28.     }  
29. };  
30.   
31. bool cmp(Point & p1, Point & p2)  
32. {  
33.     if (p1.x != p2.x)  
34.         return p1.x < p2.x;  
35.   
36.     return p1.y < p2.y;  
37. }  
38.   
39. Point point[1005];  
40. int convex[1005];  
41. int N;//坐标系的无序点的个数  
42.   
43. int getConvexHull()  
44. {  
45.     sort(point, point + N, cmp);  
46.     int temp;  
47.     int total = 0;  
48.   
49.     for (int i = 0; i < N; i++)//下凸包  
50.     {  
51.         while (total > 1 && (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).det(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)  
52.             total--;  
53.         convex[total++] = i;  
54.     }  
55.   
56.     temp = total;  
57.   
58.     for (int i = N - 2; i >= 0; i--)//上凸包  
59.     {  
60.         while (total > temp && (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).det(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)  
61.             total--;  
62.         convex[total++] = i;  
63.     }  
64.   
65.     return total;//返回组成凸包的点的个数，实际上多了一个，就是起点，所以组成凸包的点个数是total-1  
66. }  
67.   
68. int main()  
69. {  
70.       
71.   
72.     return 0;  
73. }