二叉搜索树(二叉查找树、二叉排序树)及其实现

二叉排序树的定义

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树、二叉搜索树。它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：
1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 左、右子树也分别为二叉排序树。

存储结构：

 
typedef struct bst_node 
{ 
    int key; 
    bst_node *lChild, *rChild; 
}*bsTree; 

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二叉排序树的中序遍历

二叉排序树有一个重要的性质：中序遍历可以得到键值递增的有序序列。

算法步骤：
1. 若树为空，不进行任何操作
2. 否则：
(1) 中序遍历左子树
(2) 访问树的根节点
(3) 中序遍历右子树

 
void InOrderTraverse(bsTree T) 
{ 
    if(T){ 
        InOrderTraverse(T->lChild); 
        cout << T->key << " "; 
        InOrderTraverse(T->rChild); 
    } 
} 

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二叉排序树的查找

算法步骤：
1. 若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。
2. 否则：
(1) 若小于根结点的关键字值，递归查左子树。
(2) 若大于根结点的关键字值，递归查右子树。
(3) 若子树为空，查找不成功。
平均情况为O(logn)

 
bool find(bsTree T, int key) 
{ 
    if(!T){ 
        return false; 
    } 
    else if(key == T->key){ 
        return true; 
    } 
    else if(key < T->key){ 
        return find(T->lChild, key); 
    } 
    else{ 
        return find(T->rChild, key); 
    } 
} 

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二叉排序树的插入

算法步骤：
1. 若树为空，则将待插入节点作为根节点插入空树
2. 若树不为空：
(1) 若带插入节点的关键字 < 树根节点的关键字，则将其插入左子树
(2) 若带插入节点的关键字 > 树根节点的关键字，则将其插入右子树

 
void insert(bsTree &T, int key) 
{ 
    if(!T){ 
        T = new bst_node; 
        T->key = key; 
        T->lChild = T->rChild = NULL; 
    } 
    else{ 
        if(key < T->key){ 
            insert(T->lChild, key); 
        } 
        else{ 
            insert(T->rChild, key); 
        } 
    } 
} 

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二叉排序树的删除

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

1. 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。

3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：

   (1). 其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；

   (2). 其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）－即让*f的左子树(如果有的话)成为*p左子树的最左下结点(如果有的话)，再让*f成为*p的左右结点的父结点。
   

 
void remove(bsTree &T, int key) 
{ 
    if(!T){ 
        return ; 
    } 
    else if(key < T->key){ 
        remove(T->lChild, key); 
    } 
    else if(key > T->key){ 
        remove(T->rChild, key); 
    } 
    else if(!T->lChild){ 
        bsTree rT = T->rChild; 
        delete T; 
        T = rT; 
    } 
    else if(! T->lChild->rChild){ 
        bsTree lT = T->lChild; 
        lT->rChild = T->rChild; 
        delete T; 
        T = lT; 
    } 
    else{ 
        bsTree tT; 
        for(tT = T->lChild; tT->rChild->rChild; tT = tT->rChild); 
        bsTree rT = tT->rChild; 
        tT->rChild = rT->lChild; 
        rT->lChild = T->lChild; 
        rT->rChild = T->rChild; 
        delete T; 
        T = rT; 
    } 
}

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完整的实现代码：

#include <iostream>using namespace std;typedef struct bst_node{    int key;    bst_node *lChild, *rChild;}*bsTree;void InOrderTraverse(bsTree T){    if(T){        InOrderTraverse(T->lChild);        cout << T->key << " ";        InOrderTraverse(T->rChild);    }}bool find(bsTree T, int key){    if(!T){        return false;    }    else if(key == T->key){        return true;    }    else if(key < T->key){        return find(T->lChild, key);    }    else{        return find(T->rChild, key);    }}void insert(bsTree &T, int key){    if(!T){        T = new bst_node;        T->key = key;        T->lChild = T->rChild = NULL;    }    else{        if(key < T->key){            insert(T->lChild, key);        }        else{            insert(T->rChild, key);        }    }}void remove(bsTree &T, int key){    if(!T){        return ;    }    else if(key < T->key){        remove(T->lChild, key);    }    else if(key > T->key){        remove(T->rChild, key);    }    else if(!T->lChild){        bsTree rT = T->rChild;        delete T;        T = rT;    }    else if(! T->lChild->rChild){        bsTree lT = T->lChild;        lT->rChild = T->rChild;        delete T;        T = lT;    }    else{        bsTree tT;        for(tT = T->lChild; tT->rChild->rChild; tT = tT->rChild);        bsTree rT = tT->rChild;        tT->rChild = rT->lChild;        rT->lChild = T->lChild;        rT->rChild = T->rChild;        delete T;        T = rT;    }}int main(){    bsTree T = NULL;    insert(T, 1);    insert(T, 3);    insert(T, 5);    insert(T, 2);    insert(T, 4);    insert(T, 6);    InOrderTraverse(T);    cout << endl;    cout << (find(T, 1) ? "found" : "not found") << endl;    remove(T, 5);    remove(T, 2);    InOrderTraverse(T);    cout << endl;    return 0;}

运行结果：