pku 2891Strange Way to Express Integers 一元模线性方程组解释+题解

来源：互联网发布：开个淘宝店铺卖什么好编辑：程序博客网时间：2024/04/28 02:54

一元模线性方程组指的是如下形式的方程组：

x = r1 (mod a1)

x = r2(mod a2)

.......

x = r n(mod an)

对于这类问题的处理方法，是每次合并两个方程，先合并前两个，再将这个方程和第三个合并，......，这样最后就只剩下一个模线性方程，那么要怎么合并呢？

就拿前两个方程为例，我们可以根据模定义得到

x = a1 * y1 + r1①

x = a2 * y2 + r2 ②

我们先求解出a1 * y1 + r1的一个值k，令m = lcm(a1 , a2)，则前两个方程的合并结果就是 x = k(mod m)，原因何在呢？

由定理：若a = b (mod m) ，且d | m，则a = b (mod d)

因为 x = k(mod m) ，a1 | m , 所以有x = k(mod a1)，因为k = a1 * y1 + r1 ，所以x = r1（mod a1）,同理可得x = r2（mod a2），证明结束。

然后，剩下的问题就是怎么求出k了，求k只要求出y1，然后代入a1 * y1 + r1即可。

根据①②，a1 * y1 + r1 = a2 * y2 + r2，移项a1 * y1 = r2 - r1 + a2 * y2，取模得到a1 * y1 = r2 - r1 (mod a2)，变成求这个方程的一个解，这就是喜闻乐见的求一元模线性方程的问题了，至此y1就能求得了。

下面给出一道求一元模线性方程组的例题， pku2891

/*    题目描述：给出n个ai,ri，求满足所有x=ri（ai）的最小的x*/#pragma warning(disable:4786)#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<set>#include<vector>#include<cmath>#include<string>#include<sstream>#define LL long long#define FOR(i,f_start,f_end) for(int i=f_start;i<=f_end;++i)#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))#define lson l,m,x<<1#define rson m+1,r,x<<1|1using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int mod = 1e9 + 7;const double PI = acos(-1.0);const double eps=1e-8;int n;LL ex_gcd(LL a , LL b , LL &x ,LL &y){    if(b==0){        x = 1 ;     y = 0;        return a;    }    LL d = ex_gcd(b , a%b , y , x);    y = y - a / b * x;    return d;}LL solve(){    LL a1 , r1 , a2 , r2 , x0 , y0;    bool ok = 1;    scanf("%lld%lld",&a1 , &r1);    for(int i = 1 ; i< n ; i++){        scanf("%lld%lld",&a2 , &r2);        LL d = ex_gcd(a1 , a2 , x0 , y0);        LL c = r2 - r1;        if(c % d){            ok = 0;        }        LL m= a2 / d;        x0 = (x0 * c / d % m + m)%m;        r1 = a1 * x0 + r1;        a1 = a1 * (a2 / d);    }    if(!ok)     return -1;    else        return r1;}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        LL ans = solve();        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

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