Random Walk 挑战程序设计竞赛 期望值和方程组
来源:互联网 发布:电子乐器软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 08:14
题目来自《挑战程序设计竞赛》4.1更加复杂的数学问题 期望值和方程组
这题其实就是ZJUT 1423,然而ZJUT似乎挂了。。。
1.题目详情
有一个N*M的格子,从(0,0)出发,每一步朝着上下左右四个格子中可以移动的格子等概率的移动。另外有些格子中有石头,因此无法移至这些格子。求第一次到达(N-1,M-1)格子的期望步数。题目假定至少存在一条从(0,0)出发到格子(N-1,M-1)的路径
限制条件
2<=N,M<=10
样例:('#'和'.'分别表示石头和可以移动的格子)
2.解题思路
设E(x,y)表示从格子(x,y)出发,到达终点的期望步数。先考虑从格子(x,y)向上下左右四个方向移动的情况,由于是等概率的,有如下关系:E(x,y)=1/4*E(x-1,y)+1/4*E(x,y+1)+1/4*E(x,y-1)+1/4*E(x+1,y)+1。如果移动不是等概率的,把1/4改成相应的数值就可以了。如果存在不能移动方向,也可以列出类似的式子。此外,当(x,y)=(N-1,M-1)时,有E(N-1,M-1)=0.为了使方程有唯一解,我们令无法到达终点的格子和有石头的格子都有E(x,y)=0。把N*M个方程联立起来就可以求期望步数了。
另外,为了更方便的表示上述状态转移方程,把上式改写成4*E(x,y)-E(x-1,y)-E(x,y+1)-E(x,y-1)-E(x+1,y)=4(把方程整数化),其中4表示格子(x,y)可以移动的方向的数目(可以上下左右移动,这就很容易理解,代码中的move以及为什么令A[x*M+y][nx*M+ny]=-1了。
3.代码
#include <iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;const double EPS= 1e-8 ;typedef vector<double> vec;typedef vector<vec> mat;char grid[15][15];int N,M;bool can_goal[15][15];//can_goal[x][y]为true,表示格子(x,y)可以到达终点int dx[]={-1,0,0,1};int dy[]={0,1,-1,0};//求解Ax=b,其中A是方阵//当方程组无解或有无穷多解时,返回一个长度为0的数组vec gauss_jordan(const mat& A,const vec& b){ int n=A.size(); mat B(n,vec(n+1)); //把A复制给B for (int i=0;i<n;i++) for (int j=0;j<n;j++) B[i][j]=A[i][j]; //把正在处理的未知数系数的绝对值最大的式子换到第i行 for (int i=0;i<n;i++) B[i][n]=b[i]; for (int i=0;i<n;i++){ int pivot=i; for (int j=i;j<n;j++){ if (abs(B[j][i])>abs(B[pivot][i])) pivot=j; } swap(B[i],B[pivot]); //无解或有无穷多解 if (abs(B[i][i])<EPS) return vec(); //把正在处理的未知数系数变为1 for (int j=i+1;j<=n;j++) B[i][j]/=B[i][i]; for (int j=0;j<n;j++){ if (i!=j){ //从第j个式子中消去第i个未知数 for (int k=i+1;k<=n;k++) B[j][k]-=B[j][i]*B[i][k]; } } } vec x(n); //存放在右边的b就是答案 for (int i=0;i<n;i++) x[i]=B[i][n]; return x;}//搜索可以到达的点void dfs(int x,int y){ can_goal[x][y]=true; for(int i=0;i<4;i++){ int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i]; if(nx>=0&&nx<N&&ny>=0&&ny<M&&!can_goal[nx][ny]&&grid[nx][ny]!='#'){ dfs(nx,ny); } } return;}void solve(){ //全部置为0 mat A(N*M,vec(N*M,0)); vec b(N*M,0); for(int x=0;x<N;x++){ for(int y=0;y<M;y++){ can_goal[x][y]=false; } } dfs(N-1,M-1); //构建矩阵 for(int x=0;x<N;x++){ for(int y=0;y<M;y++){ //到达终点或者(x,y)是无法到达终点的情况 if((x==N-1&&y==M-1)||!can_goal[x][y]){ A[x*M+y][x*M+y]=1; continue; } //其余情况 int move=0; for(int k=0;k<4;k++){ int nx=x+dx[k],ny=y+dy[k]; if(nx>=0&&nx<N&&nx>=0&&ny<M&&grid[nx][ny]=='.'){ A[x*M+y][nx*M+ny]=-1; move++; } } b[x*M+y]=A[x*M+y][x*M+y]=move; } } vec res=gauss_jordan(A,b); printf("%.8f",res[0]); return;}int main(){ while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF){ for(int i=0;i<N;i++){ for(int j=0;j<M;j++){ cin>>grid[i][j]; } } solve(); } return 0;}
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