上下界网络流小结

之间一直对上下界网络流不是很熟悉，今天就来小结一下！

无源汇的上下界网络流

对于一般的网络流每条边流量的下界是0所以不需要特别处理，但是有些网络流问题每条边会有一个流量下界，我们可以用一个二元组(low,up)来表示一条下界为low，上界为up的边。

那么对于每个点，要满足：∑进来的界流+∑进来的自由流=∑出去的界流+∑出去的自由流。为了把之类问题转化成最大流为题，那么我们先要把所有的下界流流完。

既然如此，我们就强行让下界流流满，即我们新增两个节点SS，TT。对于一个点，如果有一条下界为low的入流，那么就让SS向它连一天流量为low的边。假如有一个下届为low的出流，就把这个点向TT连一条流量为low的边。最后再把每条边的流量变为(0,up−low)。然后我们在由SS向TT跑一遍最大流，如果SS连出的边都满流，那么这幅图是可以满足每条边的下界流量的，否则不行。

为什么要这样把图重建？其实我们就是强制让每条边流满下界，我们把没条边的下界流都独立出来变成从SS到TT的必经流，并且放入我们剩下的图中跑。如果所有下界流都满流，那么肯定这幅图是可行的。否则肯定是不可行的！

有源汇的上下界最大流

有源汇相比无源汇就是增加了一个源点和一个汇点，那么我们怎么把这个问题转化成我们已经解决过的问题。那么除了上面向SS和TT连的边，我们另外加一条特殊的边，即从T向S连一条(0,+∞)，那这就变成无源汇的网络流了！

但是我们现在要求的是最大流，第一遍SS到TT的对最大流的贡献为T向S流的流量，即这条边的反向边的流量（这是为什么？我也不是很清楚……）但是我们只流了原图中的下界流，对于原图中的自由流可能还没流完！那么把SS和TT删掉，把T到S的边删掉。再从S到T流一遍最大流，最后加上之前的贡献就是最大流的答案了。

有源汇的上下界最小流

最大流是在有限制流的基础上流最大的可行流，最小流就是在有限制流的基础下流最小的可行流。前面的做法一样，只不过第二次跑最大流不是从S跑到T，而是从T到S把可以退流的自由流退掉，那么之前的贡献减去第二次的流量就是最小流。