关于SG函数的一些演算

问题

在一个有n堆石子的取石子游戏中,双方玩家根据既定规则,依次轮流从n堆石子中取走石子,且每人每次只能从单一的堆中取出石子.当某个玩家无法按照既定规则取出石子时,该玩家落败,同时另一名玩家获胜.

现在,给定n堆石子,问先手玩家是否可以获胜.

定义

将第i堆石子记为h_i,用元组(h₁,h₂,…,h_n)表示由这n堆石子组成的局面S,记为:

S=(h₁,h₂,…,h_n)

特别地,当n=1时,记为S=(h1)或S=h1.这样,h_i除了可以表示一堆石子外,还可以表示一个只有一堆石子的局面.

局面的后继:若局面S经历一次取出后变为局面T,则称T是S的后继.
结束局面:若玩家无法按照既定规则从S中取出石子,则称S为”结束局面”,结束局面没有后继.

mex函数

定义非负整数幂集上的函数mex:

mex(A)=min({x|x∈N-A})

直观上,可将mex理解为”集外最小序数”.

f函数

定义堆集合上的函数f:

f(h)= mex({f(i)|i是h的后继})

特别地,若h是一个结束局面,则f(h)=0.

现在,将f的定义域扩展到n维:

f(h₁,h₂,…,h_n) = f(h₁)⊕f(h₂)⊕…⊕f(h_n)

再次扩展f,使其可以作用于局面.即对于任意局面:

S=(h₁,h₂,…,h_n)
T=(i₁,i₂,…,i_m)

定义:

f(S)=f(h₁,h₂,…,h_n)
f(S,T)=f(h₁,…,h_n,i₁,i₂,…,i_m)

结论

f具有下列性质:

• 若S是结束局面,则f(S)=0
• 若f(S)=0,则f(T)!=0
• 若f(S)!=0,则存在T,f(T)=0

进一步:

• 若f(S)=0,则先手玩家必败
• 若f(S)!=0,则先手玩家必胜

证明

不加证明地给出关于异或(⊕)运算的下列性质:

• 性质1: a⊕b=0当且仅当a=b
• 性质2: 若a⊕b=c,则a⊕c=b
• 性质3: 若a=a₁⊕a₂⊕…⊕a_n,则存在a_i(1≤i≤n)满足:a_i⊕a<a_i

同时给出关于f的下列性质:

• f(h₁,h₂,…,h_n)=f(h₁,…,h_i)⊕f(h_i+1,…,h_n), 1<i<n

证明:若S是结束局面,则f(S)=0

若S只包含一个堆,f(S)=mex(∅)=0.
若S=(h₁, h₂, …, h_n),
显然对于∀i(1≤i≤n),h_i是结束局面.
所以 f(S)=f(h₁)⊕f(h₂)⊕…⊕f(h_n)=0

证明:若f(S)=0,则∀T,若T是S的后继则f(T)≠0

设 S=(h₁, h₂, …, h_n),
因为 f(S)=0
所以 f(h₁)⊕f(h₂)⊕…⊕f(h_n)=0
所以 f(h₁)=f(h₂)⊕…⊕f(h_n)(⊕的性质1)

不妨设T是玩家从h₁中取走石子后生成的局面.
即 T=(h₁^*, h₂, …, h_n)
所以 f(T)= f(h₁)⊕f(h₂)⊕…⊕f(h_n)=f(h₁)⊕f(h₁^*)

注意到h₁^*是h₁的后继,由f的定义易知:
f(h₁^*)≠f(h₁)
所以 f(h₁^*)⊕f(h₁)≠0(⊕的性质1)
所以 f(T)≠0

证明:若f(S)≠0,则∃T,T是S的后继且f(T)=0

设 S=(h₁, h₂, …, h_n),f(S)=a>0,
不妨设h₁⊕a=b<h₁
又设T=(h₁^*, h₂, …, h_n),
易知:f(T)=a⊕f(h₁)⊕f(h₁^*),
即:f(T)=b*f(h₁^*),
另一方面,由mex的定义可知,对∀0≤x<a, ∃i st. f(i)=x 且i是h₁的后继,
所以必存在: h₁^*=b
即必有T st. f(T) = 0