最小生成树讲解

1.概览
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

2.普利姆算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点为n个，一共有边为m个；

2).初始化：开个数组mp[i][j]记录i到j这条边的权值为多少 一般初始化为一个极大值

3).输如i到j的权值 用mp[i][j]来记录 同时 mp[j][i]=mp[i][j] 两边权值相同

4).接下来就是最为重要的pri函数 求出最小生成树 过程如下所示

假如我们从a点开始求它的最小生成树 以a为集合 此时找与它的连着的最小的权值

一目了然 明显是a e了

所以我们把e加入到a的这个集合 并且以e开始找与它连着的最小的权值

这样d也加入了a e 这个集合 之后我们重复上面的操作一直可以查到b

把b加入到集合中 但发现四周并没有路可走了(走的话就变成一个回路 形成环了)

这样我们就要倒回到开头可以走的 发现eg df并没有连接 让g f 加入此集合

这样就形成了最小生成树了。。

4.克鲁斯卡尔算法代码实现

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <map>#include <cmath>#include <queue>#include <string>#include <vector>#include <set>using namespace std;#define ll long long#define sc(x) scanf("%d",&x)#define dsc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)#define pr(x) printf("%d\n",x)#define FOR(i,n,o) for(int i=o;i<=n;i++)#define lcr(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))#define Inf 1<<29#define maxn 1005int m,n;int vis[maxn],mp[maxn][maxn],dis[maxn];int pri(){        int sum=0;        FOR(i,n,1)        {            dis[i]=mp[1][i];//初始化dis        }        vis[1]=1;        FOR(i,n-1,1)        {            int to=-1;            int minn=Inf;            FOR(j,n,1)            {                if(!vis[j]&&dis[j]<minn)                {                    minn=dis[j];                    to=j;                }            }            if(to==-1)                return -1;//一轮中都进入不到if判断中 就说明无法生成最小生成树            vis[to]=1;//标记为已经用过            sum+=minn;            FOR(j,n,1)            {                dis[j]=min(dis[j],mp[to][j]);//替换dis            }        }        return sum;//返回}int main(){    while(~dsc(n,m))    {         lcr(vis,0);         FOR(i,n,1)         {             FOR(j,n,1)             {                 mp[i][j]=Inf;//初始化极大值 浪费空间 有些用不到             }         }         FOR(i,m,1)         {             int f,t,v;             scanf("%d %d %d",&f,&t,&v);             mp[f][t]=v;             mp[t][f]=v;         }         int ans=pri();         pr(ans);    }    return 0;}

3.克鲁斯卡尔算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点为n个，一共有边为m个；

2).初始化：开个数组p[i]数组来记录i的祖先是谁 初始化自己的祖先是自己(采用了并查集)

3).输如i到j的权值 用mp[i][j]来记录 同时 mp[j][i]=mp[i][j] 两边权值相同

4).按照给定的权值从小到大排序

5).接下来就是最为重要的kulus 求出最小生成树 并返回 具体如下讲解

排序完好AC 对应在第一个位置 发现A C的祖先都是自己所以sum可以加上他们的权值

然而标记A的祖先为C(并查集的思想)

之后FD F D的祖先也是他们自己 所以加上他们的权值 标记
F的显示为D

重复上面的步骤 若祖先是同一个 就不能添加 最终形成如下的

4.克鲁斯卡尔算法代码实现

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <map>#include <cmath>#include <queue>#include <string>#include <vector>#include <set>using namespace std;#define ll long long#define sc(x) scanf("%d",&x)#define dsc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)#define pr(x) printf("%d\n",x)#define FOR(i,n,o) for(int i=o;i<=n;i++)#define lcr(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))#define Inf 1<<29int n,m,fth[100],sum,tol;struct node{    int f;    int t;    int v;}edge[100];int cmp(node a,node b){     return a.v<b.v;}int find(int x){    if(fth[x]==x)    {        return fth[x];    }    return fth[x]=find(fth[x]);//状态压缩}int kulus(){         sum=0;         tol=0;         FOR(i,m,1)         {             int f=edge[i].f;             int t=edge[i].t;             if(find(f)!=find(t))//判断祖先是否相同             {                 fth[find(f)]=find(t);                 sum+=edge[i].v;                 pr(sum);                 tol++;             }             if(tol==n-1)//只需要找到n-1条边相加                return sum;         }         return -1;//无法形成最小生成树}int main(){    while(~dsc(n,m))    {        FOR(i,n,1)        {           fth[i]=i;//初始化自己祖先为自己        }        FOR(i,m,1)        {            sc(edge[i].f);            sc(edge[i].t);            sc(edge[i].v);        }        sort(edge+1,edge+1+m,cmp);//按权值从小到大排序        int ans=kulus();        pr(ans);    }    return 0;}

END！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！