【JZOJ 3072】掷骰子

Description

太郎和一只免子正在玩一个掷骰子游戏。有一个有N个格子的长条棋盘，太郎和兔子轮流掷一个有M面的骰子，骰子M面分别是1到M的数字.且掷到任意一面的概率是相同的.掷到几.就往前走几步.当谁走到第N格时，谁就获胜了。游戏中还有一个规则“反弹”.就是当一位选手要走到第N格外时.他就会后退(就像飞行棋进营一样)。

假设现在一位追手在A格.当他掷出B时：1.A+B<N，走到第A+B.络，2.A+B=N，走到第N格，获胜。3.A+B≥N，走到第(N-(A+B-N)格现在太郎和兔子分别在第x和y格.接下来是太郎掷骰子，太郎想知道他赢得比赛的概率就多少。

Solution

用DP，
因为正着推不好玩，所以考虑一下倒推，
设fi,j表示两人分别在i和j，到i走，从终点开始倒推，

很显然，如果i=n，f直接加1，j=n直接跳过；
再分类讨论：

1、两人都在[n-m+1,n]这个区间内，i赢的概率是：

1m+(m−1m)2∗1m+(m−1m)4∗1m+(m−1m)6∗1m...

i一次跳到了终点，或者第一次没中，j也没中，i才中，以此类推，

=1m∑i=0∞(m−1m)2i

用等比数列表示：

=1m∗(m−1m)∞−11m2−2m

由于(m−1m)∞无限接近0，也就是等于0，所以

=1m∗m22m−1=m2m−1

所以：

fi,j=m2m−1

2、i在[n-m+1,n]这个区间内:

fi,j=1m+∑j+mk=j+1(m−1)fi,km2

有可能直接跳到终点，或者从其他点跳来，对于每个的k，都有(m-1)个非终点跳到i，同时每个k刚好跳到j和每个非终点的跳到i概率积为m2；

3、j在[n-m+1,n]这个区间内:

fi,j=(i+n=m?1:0)m2+∑i+mk=i+1(m−1)fk,jm2

如果i在n-m这个位置，那么就有1m的概率直接跳到终点，但也有可能在跳之前j先到了终点，所以要减m−1m∗1m等于1m2，
后面的与前面的差不多，这里就不多写了；

4、i,j都不在区间内：

这个简单嘛，直接把他们后面的概率加起来除m2即可，
fi,j=∑i+mk=i+1∑j+ml=j+1fj,km2

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我们发现每个∑可以写一个矩阵后缀和来优化，
答案就是fx,y。

复杂度：O(n2)

Code

成就：代码写进700！

#include<cstdio>#include<cstdlib>#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;typedef double db;const int N=2050;int m,n,x,y;db f[N][N];db S(int q,int w,int q1,int w1){return f[q][w]-f[q1][w]-f[q][w1]+f[q1][w1];}int main(){    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);    db q=(1.0*m/(2*m-1));    fod(i,n,1)        fod(j,n,1)        {            f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][j+1]-f[i+1][j+1];            if(i==n){f[i][j]++;continue;}            if(j==n)continue;            if(i+m>n&&j+m>n)f[i][j]+=q;                else if(i+m>n)f[i][j]+=((m-1)*S(i,j+1,i+1,j+m+1)+m)/(m*m);                    else if(j+m>n)f[i][j]+=((m-1)*S(i+1,j,i+m+1,j+1)+(i+m==n))/(m*m);                        else f[i][j]+=S(i+1,j+1,i+m+1,j+m+1)/(m*m);        }    printf("%.6lf\n",S(x,y,x+1,y+1));    return 0;}