SRM 697 div1 hard

题目大意

有n个城市，每个城市有个权值wi，任意两个城市i,j之间的道路数有wi∗wj条。对于每种生成树，设每个点的度数为di，其权值定义为∏di。问所有无根生成树的权值和。答案对109+7取模。
n≤2000

题解

因为与度数有关，所以很容易就能套上prufer序列。事实上，答案求的是这个东西：

==∑a1+⋯+an=2n−2(n−2)!(a1−1)!⋯(an−1)!wa11⋯wanna1⋯anw1⋯wn∑a1+⋯+an=n−2(n−2)!a1!⋯an!wa11⋯wann(a1+1)⋯(an+1)w1⋯wn(n−2)!∑a1+⋯+an=n−21a1!⋯an!wa11⋯wann(a1+1)⋯(an+1)

现在相当于要求

∑a1+⋯+an=n−21a1!⋯an!wa11⋯wann(a1+1)⋯(an+1)

我们把(a1+1)⋯(an+1)展开，单独考虑每个单项式的贡献，比如说考虑a1a2a3，那么有

==∑a1+⋯+an=n−21a1!⋯an!wa11⋯wanna1a2a3w1w2w3∑a1+⋯+an=n−2−31a1!⋯an!wa11⋯wannw1w2w3(w1+⋯+wn)n−2−3(n−2−3)!

据此，我们可以推断出，原式就等于

∑k=0n−2⎛⎝∑1≤p1<p2<⋯<pk≤n∏i=1kwpi⎞⎠(w1+⋯+wn)n−2−k(n−2−k)!

对于中间那一项，可以用一个O(n2) Dp直接求，那么整题就做完了。

总结：
1. prufer序列在含度数的生成树计数中异常有用
2. 把式子展开，考虑单项式的贡献