RMQ模板

来源：互联网发布：2016淘宝免费装修编辑：程序博客网时间：2024/05/13 01:49

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是

3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

#include <iostream>#include <algorithm>#include <string.h>#include <stdio.h>#include <math.h>#define LL long longusing namespace std;const int MAXN = 1e5+10;const int MAXM = 20;int dp[MAXN][MAXM];void init_RMQ(int n){    for(int j = 1; (1<<j) <= n; ++j){        for(int i = 1; i+(1<<j)-1 <= n; ++i){            dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);        }    }}int query_RMQ(int l,int r){    int k = log(r-l+1)/log(2);    return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);}int main(){    int n,m;    int l,r;    cin>>n;    for(int i = 1; i <= n; ++i)        cin>>dp[i][0];    init_RMQ(n);    cin>>m;    while(m--){        cin>>l>>r;        cout<<query_RMQ(l,r)<<endl;    }}

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