C++：排列组合算法

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排列组合数是一种非常实用的工具，计算出所有的排列组合可以解决一些实际的工程问题。所以，掌握计算排列组合的方法是十分必要的。

目前，网上已经有一些计算排列组合数的算法，比如http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2012/04/27/2473788.html 。

大部分排列组合算法都是用了递归的思想，在这里我也给出我的一个实现方法，这个算法同样采用了递归的方式，但是采用了分治的思想。

为叙述方便，我们先将问题转化成对数组的下标进行排列组合。

比如对于数组a={'a','b','c','d','e'}.

我们只需要对数组a的下标进行排列组合，之后通过下标访问即可，比如得到结果之一为（1，3，4），那么通过访问数组a即可得到最终结果（‘b’，‘d’，‘e’）。

思路：

对于求排列组合C(5，3)，我们可以对结果分成两类：A类是含有下标5的结果，B类是不含下标5的结果；

同理，对于B类，我们可以将B类继续分成两类：B1类是含有下标4的结果（且不含下标5的结果），B2类是不含下标4的结果（且不含下标5的结果）；

同理，对于B2类，我们可以继续分成两个子类：B21类是含有下标3的结果（且不含下标5、4的结果），B22类是不含下标3的结果（且不含下标5、4的结果）；

注意，此时B22类是不成立的（应为不含下标3、4、5，只剩下下标1、2两个元素），所以已经将所有独立的子集找到，完成遍历。

其中，

对于A类，我们只需要求解C(4,2)，之后再在返回的结果中加入5即可；

对于B类，可以分成B1和B2两类：

对于B1类，我们只需要求解C(3,2)，之后再在返回的结果中加入4即可；

对于B2类，可以分成B21和 B22两类：

对于B21类，我们只需要求解C(2,2)，之后再在返回的结果中加入3即可；

对于B22类，不成立，结束。

可以发现，问题C(5,3)已经降维成三个小问题：C(4,2)，C(3,2) 和C(2,2)。利用递归的方法即可实现最终结果的求解。

下面是源代码：

/*****************************************************************************************************************************        时间复杂度：        空间复杂度：        功能：求排列组合Cij        输入参数：                int i                :        总数                int j                :          组合数                vector<int>r:        用于存储临时结果的向量，大小必须等于num                 int num                :        组合数                vector<vector<int> > & result        :        用于存储最终所有结果的二维向量         返回参数：                void        注意：　                首先建立两个向量作为函数的输入参数                                vector<int> r(num);                                //num为组合数                 vector<vector<int> > result;        //存储最终结果         使用样例：                vector<int> resulttemp(3);                vector<vector<int> > result;                Cij(6,3,resulttemp,3,result); *****************************************************************************************************************************/void Cij(int i, int j,vector<int> &r,int num,vector<vector<int> > & result){        //排列组合公式Cij        //cout << n << ' ' << i << ' ' << j << endl;        if (j == 1)        {                for (int k = 0; k < i; k++)                {                        vector<int> temp(num);                        r[num - 1] = k;                        for (int i = 0; i < num;i++)                        {                                temp[i]=r[i];                                //cout << r[i] << ' ';                        }                        result.push_back(temp);                        //cout << endl;                }        }        else if (j == 0)        {                //do nothing!        }        else        {                for (int k = i; k >= j; k--)                {                        r[j-2] = k-1;                        Cij(k - 1, j - 1,r,num,result);                }        }}

下面是测试结果：