深入TR室内定位算法

1. 前言

　　刚来实验室的那段时间，我的导师浩川老师让我研究Ray Liu教授所做的室内定位的研究。由于后来决定读博之后，浩川老师给我重新规划了方向，因此室内定位对于我而言算是一个课外扩展的研究方向吧。学习这个也有一段时间了。刚好晚上睡不着，躺在床上也很无聊，于是跑到实验室写点东西，算是对之前学习的一个阶段性总结吧。
　　随着无线通信技术尤其是小区技术的发展，定位算法在精度与应用上得到了显著的提高。相对于室外复杂的环境，室内环境变化相对缓慢。另一方面，智能家具和机器人产业的兴起，也迫切需要提出较高精度且易于实现的定位算法。
　　由于室内环境存在着丰富的散射和绕射，这给定位算法精度的提高增加了难度。传统的基于到达时间（Time of Arrival）和到达角度（Angle of Arrival）以及接收信号强度（Received Signal Strength）的定位算法在精度上只能够达到米级别，无法进一步突破。
　　Ray Iiu团队在文献[1]中提出了将TR技术应用于室内定位算法之中；在文献[2]中验证了TR技术相对于传统的利用RAKE接收机的通信系统具有功耗低、干扰少、多径增益强等特点； 在文献[3]中，提出了基于WIFI的时间反转室内定位（Time-Reversal Indoor positioning System）算法，将定位精度提高到0.5cm。

2. TR室内定位算法简介

　　近代声学发展了源于光学的相位共轭成像法[4]，之后连续的相位共轭法又被演变成时间反转方法。目前大量的TR技术应用于水声通信、医疗探伤等工作领域。
　　由于室内环境复杂，存在这丰富的散射和绕射，因此不同的位置之间的信道是独一无二的。利用TR技术的时间聚焦和空间聚焦的特性，在仅使用一个信号接入点（Access Point AP）的条件下，可以将室内定位算法的精度提高到厘米级别。
　　TR室内定位算法主要分为建立离线数据库和匹配在线数据两个环节。在离线数据库的建立过程中，如图1所示，选定一块实验区域，将该区域划均匀划分为N×N个网格，通过将移动终端TD放到每一个网格上，发射脉冲信号，AP接受TD发送的信号，得到该TD到AP的信道冲激响应hi，图中绿线部分表示hi的抽头路径，由于室内环境存在丰富的散射和绕射，因此TD所在的每一个位置到AP的信道冲激响应（Channel Impulse Response CIR）都是不同的，这样重复可以得到整个指纹网络D={hi}（也就是离线数据库）。文献[1]中由实验验证了室内环境下信道的互易性以及时间平稳特性。

图1：离线数据库建立示意图

　　在线数据的匹配环节，假定TD在i(i∈[1,N2])位置上，发射脉冲信号，AP接受TD发送的信号，经过时间反转，并与离线数据库中的数据进行匹配，从离线数据库中选择出最为匹配的信道CIR，而该CIR所对应的位置，即为估计位置。表示如下
　　

iˆ=argmaxiηi

其中η表示TR谐振因子。

3. TR的时间聚焦和空间聚焦特性

3.1 TR的时间聚焦特性

L长的序列h[k]的时间反转定义为

g[k]=h∗[L−1−k]      k=0,1,2,⋯,L−1

由于多径效应和延迟，信道的冲激响应可以表达如下

h[k]=∑l=0L−1alδ[k−τl]

序列h[k]与该序列的时间反转序列g[k]的卷积如下

h[k]∗g[k]=(∑l=0L−1alδ[k−τl])∗(∑l=0L−1a∗lδ[L−k−1−τl])                 =∑l=0L−1|al|2δ[k−(L−1)]+∑n=0L−1∑m=0,n≠mL−1ana∗mδ[k−(L−1)+(τm−τn)]

从式子中可以看出，当k=L−1时，h[k]∗g[k]得到最大值∑l=0L−1|al|2。而当k≠L−1时，h[k]∗g[k]的值仅为ana∗m。所谓TR的时间聚焦特性，就是卷积之后的信号，在某一个点的能量比其余点都大很多。
【实验1】产生一个L=200长的高斯时间序列h[k]，计算得到该序列的时间反转序列g[k]，计算h[k]∗g[k]，并绘制h[k]∗g[k]的图形

仿真代码如下

主程序clear all;h=sqrt(4)*(rand(1,200));   %产生高斯信道 g=ReveralSequence(h);      %对H2信道进行时间反转y=conv(g,h);               %信道与信道的时间反转序列进行卷积plot(y);子程序function s=ReveralSequence(s)    [s_row,s_col]=size(s);    if(s_row>1)        disp('本程序只能是列矩阵');    end    for i=1:floor(s_col/2)        tem=s(i);        s(i)=s(length(s)+1-i)';        s(length(s)+1-i)=tem';    endend

实验结果

图2： TR的时间聚焦特性

实验证明，序列与序列的时间反转进行卷积会产生一个peak，即TR的时间聚焦特性。

3.2 TR的空间聚焦特性

定义TR谐振因子如下

η(h,g)=max|(h∗g)[i]|∥h∥∥g∥

其中g[k]=h∗[L−1−k]k=0,1,⋯,L−1
　　对于N×N个网格的平面区域，离线数据库中储存有N2组数据，假设N=40，则离线数据库中有1600组CIR数据。我们通过实验来完成对TR的空间聚焦特性的验证。
　　
【实验2】产生40×40组，信道长度为L=500的高斯信道，并建立离线CIR数据库D。在线匹配环节，假定在(20,20)位置上，AP接收TD的信号，设为h′，对该序列进行TR处理，得到序列g′，并用离线CIR数据库对序列g′进行匹配，验证位置(20,20)上是否产生peak。

仿真代码如下

clear all%% 数据初始化N=40; L=500;h=zeros(1,L);      %初始化信道序列g=zeros(1,L);      %初始化TR序列tem=zeros(1,L);D=zeros(N,N,L);    %初始化离线数据库eta=zeros(N,N);    %TR谐振因子%% 离线数据库的建立 for n=1:N    for m=1:N              h=sqrt(1)*(rand(1,L));     %产生高斯信道        D(n,m,:)=h;                %储存到离线数据库中        if(n==N/2&&m==N/2)                      g=ReveralSequence(h);        end    endend%% 在线匹配环节for n=1:N    for m=1:N          for k=1:L           tem(1,k)=D(n,m,k);       end       eta(n,m)=(max(abs(conv(tem,g))))/(norm(tem)*norm(g));  %计算TR谐振因子    endend%% 绘制三维图形n = 1:N;m= n;[x,y] = meshgrid(n,m);       %得到网格surf(n,m,eta,eta);           %绘制图形axis([1 N 1 N 0.75 1]);      %限制显示的范围hold onshading interp               %用数据控制三维曲面的颜色colorbar                     %颜色条

实验结果如图所示

图3：TR的空间聚焦特性

从图中可以看出，只有匹配位置处才存在peak，非匹配位置处，不存在peak，即TR的空间聚焦特性。

4. 匹配滤波器

匹配滤波器是一种最佳线性滤波器，可以在接收端实现接收信噪比的最大化。进行判决前，假设接收信号为s(t)=r(t)+n(t)，经过一个传递函数为H(w)的接收滤波器，其时域单位冲激响应为h(t)。假设噪声n(t)的平均功率为No/2，通过先行滤波器之后的平均噪声功率为

Pz¯¯¯¯=12π∫+∞−∞No2π|H(ω)|2dw=No4π∫+∞−∞|H(ω)|2dw

因此，可以得到r(t)经过线性滤波器之后，在to时刻的瞬时信噪比为

SNR(to)=∣∣12π∫+∞−∞H(w)S(w)ejwto∣∣2No4π∫+∞−∞|H(w)|2dw

根据上式，可以定义H(w)，实现瞬间信噪比的最大化。又可以根据许瓦兹不等式：

∣∣∣∫+∞−∞A(x)B(x)∣∣∣2≤[∫+∞−∞|A(x)|2dx][∫+∞−∞|B(x)|2dx]

当且仅当A(x)=KB∗(x)时候，上式取等号。因此，瞬时信噪比变为

SNR(to)≤14π2[∫+∞−∞|H(w)|2dw][∫+∞−∞∣∣S(w)ejwto∣∣2dw]No4π∫+∞−∞|H(w)|2dw=1πNo∫+∞−∞|S(w)|2dw

又根据帕斯瓦尔定理：12π∫+∞−∞|S(w)|2dw=∫+∞−∞s2(t)dt=E，则可以得到最大瞬时信噪比：

SNRmax=2ENo

利用许瓦兹不等式取等号的条件，可以得到匹配滤波器的传递函数：

H(w)=KS∗(w)e−jwto

其时域单位冲激响应为

h(t)=Ks∗(to−t)

因此，当期望信号s(t)通过匹配滤波器时，滤波器的输出信号为

y(t)∣∣t=to=∫+∞−∞s(t−τ)h(τ)dτ∣∣t=to=KE

其中E表示信号的能量，信号的瞬时功率在输出端不断积累，在t=to时刻，以能量的形式表现出来。而当噪声n(t)经过匹配滤波器时经过平滑，因此得到最大信噪比输出值。

5. 匹配滤波器与TR的关系

为了与TR比较更为直观，我们用g(t)来表示匹配滤波器的时域。从上一节中，我们得到了匹配滤波器的表达形式：

g(t)=Ks∗(to−t)

因为我们仅仅在乎抽样判决时刻的值，因此将其将其写成离散信号的形式，如下

g[k]=Ks∗[L−1−k]

从第二节中，我们知道TR所做的主要操作就是时间反转共轭

g[k]=h∗[L−k−1]

因此，我们可以看出，TR和匹配滤波器也只不过是同一种理论的不同应用而已，毫无本质创新。

参考文献

[1] Wu Z H, Han Y, Chen Y, et al. A Time-Reversal Paradigm for Indoor Positioning System[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2015, 64(4):1-1.
[2] Wang B, Wu Y, Han F, et al. Green Wireless Communications: A Time-Reversal Paradigm[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2011, 29(8):1698-1710.
[3] Chen C, Chen Y, Lai H Q, et al. High accuracy indoor localization: A WiFi-based approach[C]IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 2016.
[4] Song H C, Hodgkiss W S, Skinner J D, et al. Numerical Modeling of a Time Reversal Experiment in Shallow Singapore Waters[C] Oceans. 2006:1-6.