JZOJ.4714【NOIP2016提高A组模拟8.19】公约数

Problem

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。

Input

输入共一行，一个正整数n。

Output

输出共一行，一个正整数表示答案。

Sample Input

3

Sample Output

1
解释：只有(2,3)满足要求

Data Constraint

对于30%的数据满足n<=1000
对于60%的数据满足n<=10^5
对于100%的数据满足n<=10^7

Solution

我们可以知道，对于某一些数对，他们的GCD是相同的，所以我们设a=2n,b=2n+1,只要枚举(ka,kb)（因为gcd(a,b)=1，所以gcd(ka,kb)=k），然后判断一下a^b是否等于k就行了。
当然，还有另外一种更好理解的方法。
我们发现，gcd(a,b)≤a−b,a异或b≥a−b。
所以，如果gcd(a,b)=a^b，那么当且仅当a^b=a-b.
我们枚举b，令a=kb，然后判断a^b是否等于a-b即可。
——2016.8.22