二叉树遍历(递归、非递归、Morris遍历)
来源:互联网 发布:宋定伯卖鬼 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 19:49
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二叉树遍历是二叉树中最基本的问题,其实现的方法非常多,有简单粗暴但容易爆栈的递归算法,还有稍微高级的使用栈模拟递归的非递归算法,另外还有不用栈而且只需要常数空间和线性时间的神奇Morris遍历算法,本文将对这些算法进行讲解和实现。
递归算法
二叉树节点使用以下数据结构进行表示,包括关键字、左儿子、右儿子属性和一个带默认参数的构造函数。
struct成员的默认属性为public,于是可以直接访问。
二叉树的递归算法非常简单,设置好递归出口之后,根据遍历的顺序,对当前节点的左右子递归调用自身即可。其前序、中序、后序遍历的代码如下。
栈模拟非递归算法
递归算法的本质是利用函数的调用栈进行,实际上我们可以自行使用栈来进行模拟,这样的算法空间复杂度为O(h),h为二叉树的高度。
前序遍历
首先把根节点入栈,然后在每次循环中执行以下操作:
- 此时栈顶元素即为当前的根节点,弹出并打印当前的根节点。
- 把当前根节点的右儿子和左儿子分别入栈(注意是右儿子先入栈左儿子后入栈,这样的话下次出栈的元素才是左儿子,这样才符合前序遍历的顺序要求:根节点->左儿子->右儿子)。
下面是代码实现。
后序遍历
因为后序遍历的顺序是:左子树->右子树->根节点,于是我们在前序遍历的代码中,当访问完当前节点后,先把当前节点的左子树入栈,再把右子树入栈,这样最终得到的顺序为:根节点->右子树->左子树,刚好是后序遍历倒过来的版本,于是把这个结果做一次翻转即为真正的后序遍历。而翻转可以通过使用另外一个栈简单完成,这样的代价是需要两个栈,但就复杂度而言,空间复杂度仍然是O(h)。
中序遍历
中序遍历稍微复杂,使用一个指针p指向下一个待访问的节点,p初始化为根节点。在每次循环中执行以下操作:
- 如果p非空,则把p入栈,p变为p的左儿子。
- 如果p为空,说明已经向左走到尽头了,弹出当前栈顶元素,进行访问,并把p更新为其右儿子。
下面是代码实现。
Morris遍历
Morris遍历的神奇之处在于它是非递归的算法,但并不需要额外的O(h)的空间,而且复杂度仍然是线性的。这样的算法最关键的问题是当访问完一棵子树后,如何回到其对于的根节点再继续访问右子树呢?Morris是通过修改二叉树某些节点的指针来做到的。
中序遍历
按照定义,在中序遍历中,对于一棵以root为根的二叉树,当访问完root的前驱节点后,需要回到root节点进行访问,然后再到root的右儿子进行访问。于是,我们可以每次访问到一棵子树时,找到它的前驱节点,把前驱节点的右儿子变为当前的根节点root,这样当遍历完前驱节点后,可以顺着这个右儿子回到根节点root。
但问题是修改了该前驱节点的右儿子后什么时候再改回来呢?
- 当第一次访问以root为根的子树时,找到它的前驱pre,此时pre的右儿子必定为空,于是把这个右儿子设置为root,以便以后根据这个指针回到root节点。
- 当第二次回到以root为根的子树时,再找到它的前驱pre,此时pre的右儿子已经被设置成了当前的root,这时把该右儿子重新设置成NULL,然后继续进行root的右儿子的遍历。于是完成了指针的修改。
在这样的情景下,寻找当前节点的前驱节点时,不仅需要判断其是否有右儿子,而且还要判断右儿子是否为当前的root节点,跟普通情况下的寻址前驱节点稍微多了一个条件。
由于在每次遍历一个节点的时候都需要寻找其前驱节点,而寻找前驱节点的时间一般与树的高度相关,这样看上去算法的复杂度应该为O(nlogn)才对。但由于其只需要对有左儿子的节点才寻找前驱,于是所有寻找前驱时走过的路加起来至多为一棵树的节点数,例如在下文的例子中,只需要对以下节点寻找前驱:
- 节点4:寻找路径为:2-3
- 节点2:寻找路径为:1
- 节点6:寻找路径为:5
于是寻找前驱加上遍历的运算量之和至多为2*n,n为节点个数,于是算法的复杂度为仍然为O(n)。
其实现代码如下:
前序遍历
前序遍历和中序遍历类似,只是在遍历过程中访问节点的顺序稍有不同。即在第一次访问一棵子树时,就要先对根节点进行访问,于是printf输出语句被放到了if判断中第一次访问的分支中。
其代码如下:
后序遍历
后序遍历稍微复杂,但其遍历的基本顺序也是和前/中序遍历类似,只是在打印的时候做了一个翻转。考虑下文例子中的后序遍历结果:1 3 2 5 7 6 4。其可以这样进行拆分并进行解释:
- 1:最左下角的结果节点
- 3 2:节点2、3的倒序
- 5:右儿子的最左下角的节点
- 7 6 4:右边一列节点4、6、7的倒序
于是我们可以在中序遍历过程中,当第二次访问到一个节点时,把它的左儿子到它的前驱节点的路径上的节点进行翻转打印,即可得到后序遍历的结果。但这样的话根节点到最右下角那一列会访问不到,增加一个辅助节点作为新的根节点,把原有根节点作为其左儿子即可。
其实现代码如下:
代码测试
在下面的主函数中,我们对以下简单的二叉树进行测试。
主函数代码如下:
- 二叉树遍历(递归、非递归、Morris遍历)
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- 【树】二叉树的非递归遍历(栈&Morris)
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