Hackerearth: August Circuits 比赛记录

    Hackerearth上每个月会举办一次为期一周的比赛，此次是第一次参加比赛。赛题难度由易到难，各种类型的题目都有。在没有其它参考的情况解解决算法问题，算是对自己算法实现能力的一次检验。

赛题1：Dual issue

题目：由两个素数的的乘积构成的数乘积称为dual numbers。给定一个数组，求由这个数组能组成的最大的dual number。数组中的数可重复使用。

思路：找出最大的素数，输出其平方。

赛题2：Killing Assistants

题目：有n个学生在进行射击，学生分两种类型。普通学生每次设计有1/2的概率中靶，优秀学生每次射击有2/3的概率中靶。其中普通学生有m个。
现有一个学生进行了两次射击，一次射中，一次miss，求该生为普通学生的概率。

思路：直接依据概率论的公式进行计算即可。

赛题3：Detroying houses

题目:
在二维平面上分布有多所房子，房子的坐标由（xi，yi )给出。在以原点为圆心，半径为R的圆内均匀随机地放置一个炸弹。炸弹的杀伤半径为D，所有在杀伤范围内的房子都会被摧毁。求最后被摧毁的房子的数量的期望。

思路：等价于求圆（0，0）-R，与圆（xi，yi）-D的相交部分的面积。因为在圆（0，0）-R内，只要炸弹落在这个区域内，房子必定被摧毁。因此对每个房子而言，被摧毁的概率为相交部分的面积占圆（0，0）-R的面积的比例。原问题转化为求圆相交面积的问题。

赛题4：Game with Xor

有n个数字，Alice和Bob轮流从中取出数字，Alice先手。获胜的条件是所有手中的数字的异或值比对方大。两个人都极聪明，因此他们都会用最佳策略来选择数字。给定这n个数字，求游戏结果。并且如果Alice获胜，请输出她第一个数该选什么。

思路：将所有数字以二进制表示，并对齐成一个矩阵，考察每一列中1的个数。
首先，对最高位进行考察，即对矩阵的第一列进行考察。如果最高为的1的的个数为偶数，那么最终两个人手上的数字中最高为为1的个数必然都是偶数，最终两人异或得到的数字这一位都是0，无法判断胜负，需要再根据次高位的数字进行判断是否能分出胜负。

如果最高为的1的的个数奇数，那么最终两个人手上的数字中最高为为1的个数是一奇一偶，那么在异或之后，两个人的最终得到的数字的最高为必然一个为0，一个为1（偶数个1异或之后为0）。那么，只要能保证自己在这一轮，能拿到奇数个1，Alice即可获胜。

如果这一列1的个数为4k+1型，那么Alice有必胜策略。4k+1个数，需要保证自己比对方对一个数即可。那么Alice只需要先拿一个1，之后Alice只要跟着Bob拿，保证后来两个人拿到的1个数相等就行了。Bob拿0，Alice就拿0，反之亦然。如果0的个数为偶数，自然没问题。如果为奇数，那么到最后剩下1个0，Bob拿了之后Alice没有可拿的了。但是剩下的都是1，且为偶数个，最终两人拿到的1的个数仍然相等。Alice最终那个奇数个1，Alice胜。至于拿的方法，只要开始拿1就行了，具体哪个无所谓。

如果这一列的1的个数为4k+3型，那么胜负结果需要根据余下的0的个数来判断。因为4k+3平分之后为奇数，所以多拿的人会输。因此，只要保证对方比自己多拿一个，自己就能获胜。

如果0的个数为奇数，Alice有必胜策略。Alice先拿一个0。由于0的个数为奇数，因此Bob不得不比Alice先拿1。等Bob拿到1之后，如果还有0，Alice就拿1。直至没有0为止，然后两人平分剩下的1。Bob多了一个，Alice胜。Alice先拿一个0即可。
如果0的个数为偶数，Bob有必胜策略。他只需要跟着Alice拿即可。无论如何，Alice必然比Bob先拿1，Alice必败。

如果这一位的1的个数为偶数，则依次考察下一位。直至考察结束，如果仍没分出胜负，那么二人打平。

原题目为英文版，详见：Hackerearch：August Circuits
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