QR分解之HouseHolder变换

QR分解

一个矩阵的QR分解（QR decomposition）(QR factorization)是将矩阵分解成A=QR，其中Q是一个正交矩阵（QTQ=I），R是上三角矩阵。

HouseHolder变换

HouseHolder变换可以将一个向量映射到一个超平面上。
HoulseHolder矩阵
P=I−2vvT,I是单位矩阵，v是单位正交矩阵，vvT=I
HouseHolder矩阵有如下性质：

- 对称：P=PT
- 正交：P−1=PT
- xx：P2=I

变换
x是一个任意的m维列向量，||x||=|α|，如果算法是使用浮点运算实现的，那么α应该和x的第k值符号相反来防止抵消，xk是变换后的主轴坐标，其他元素都为0。

α=−esgn(xk)||x||

e1是一个m维向量(0,ek=0,…,0)，I是m×m的单位矩阵，

u=x+αe1

v=u||u||

P=I−2vvT=I−2uuTuTu

example
向量a=(12,6,−1)T，我们选择a1为变换后的主轴坐标
|α|=||a||，因为a1的符号为+，所以α=−||a||=−14，e1=(1,0,0)T

u=a−αe1=(−2,6,−4)T

P=I−2uuTuTu=⎛⎝⎜6/73/7−2/73/7−2/76/7−2/76/73/7⎞⎠⎟

Px=(14,0,0)T

同样的，还可以选择a2为主轴，变换得到的结果是(0,14,0)T