决策树

基础
熵
如果X是一个离散型随机变量，取值空间为R，其概率分布为p(x)=P(X=x),x∈R。那么，X的熵定义为：
H(X)=−∑x∈Rp(x)log2p(x)
其中，约定0log20=0。由于公式中对数以2为底，所以该公式定义的熵的单位为二进制（比特）。
熵用于描述一个一个随机变量的不确定性的数量。一个随机变量的熵越大，它的不确定性就越大。用通俗的话来来讲，一个随机变量的熵越大，它的各个取值的情况就越混乱，你越难猜中这个随机变量的取值。实际上，熵就是表示一个体系的混乱程度。反之，如果熵越小，这个体系就越纯，这正是本文要用到的性质。
直观上
有下表表示的数据集D：

表中的每一行是D中的一个对象，具体意思是，一个人的条件以及是否发给了这个人信用卡。可以利用这个表生成决策树：

……
这些决策树就可以用来对一个新的对象进行分类了。
可以看到，通过这个表可以生成很多决策树，我们希望得到最好的那个决策树，比如，针对上面生成的决策树，我们更喜欢第二个。决策树算法可以帮我们得到数据集D对应的最好的那棵决策树。
决策树算法
决策树算法的伪代码如下：

其中，D表示数据集，A表示属性集，T表示一个树节点。
伪代码把算法描述得很清晰，但其中提到的两个函数impurityEval-1和impurityEval-2以及两个函数计算结果的差值需要延伸一下。
impurityEval-1用于计算数据集D纯度，impurityEval-2用于计算数据集D通过属性A_i划分子集之后的纯度。通过前面“基础”部分，我们知道，一个系统的纯度（也就是混乱度）可以用熵来表示，于是有：
impurityEval−1(D)=H(D)=−∑|C|j=1p(cj)log2p(cj)
其中，|C|是类别总数，p(cj)表示数据集D中类别cj占的比例。
数据集D通过属性A_i划分子集之后的纯度可表示为：
impurityEval−2(D)=HAi(D)=−∑vk=1|Dk||D|H(Dk)
其中，v是数据集D通过属性A_i分割后的子数据集的数目，|D|表示数据集D中对象的数目。
伪代码中12行和13行说，当impurityEval-1和impurityEval-2的差值小于个阈值时，递归停止，意思是说，用属性A_i划分数据集D让数据集变纯的效果不明显，继续分下去没有必要。impurityEval-1和impurityEval-2的差值还有个专门的名字，叫做信息增益，用公式表示就是：
gain(D,Ai)=impurityEval−2(D)−impurityEval−1(D)

本文首先介绍算法的核心基础，熵的概率，然后直观上展示了怎么从数据集生成决策树，最后介绍决策树算法本身。任何一个部分的介绍都是简略的，如果读者感兴趣，可以阅读文末的参考书籍。
参考资料：
《Web数据挖掘》第2版，Bing Liu 著， 俞勇 译
《统计自然语言处理》第2版，宗成庆 著