一道一维化矩阵快速幂的题

描述

有n个数围成一圈，每次操作后每个数变成和他距离在d以内的数字之和，求k次操作后每个数字模1000000007分别是多少

输入

第一行三个数n, d, k (1 ≤ n ≤ 1000, 0 ≤ d < n / 2 , 1 ≤ k ≤ 100 000 000),
第二行有n个正数，每个的大小都在int范围内

输出

一行n个数，空格隔开，表示结果。

样例

Input

5 1 1
1 2 10 3 6

Ouput

9 13 15 19 10

范围

10%数据满足n*k<10^6
30%数据满足 n<=100
50%数据满足 n<=500
100%数据满足n<=1000

这道题题目描述很简单，这种递推的题很容易让人想到矩阵快速幂，也同样很容易就可以写出来，但我们发现一个很严重的问题，要复杂度O(n3logn)要T，而且T70%。
但最后一步，我们把矩阵和数组乘起来的时候是O(n2)，而我们中间矩阵乘法却是O(n3)，而矩阵实际上初始是一个每一排相当于前面一排向后位移一个，我们能不能将矩阵又化成数列呢？
答案是肯定的，我们直接来看样例
样例矩阵:
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1
样例数列：1 1 0 0 1
矩阵乘法（略）
数列乘法：

for(i=0;i<n;++i)    for(c[i]=j=0;j<n;++j)        c[i]+=a[j]*b[i>=j?(i-j):(n+i-j)]%m;

为什么可以这样。。。矩阵的每一行相当于上一行向右移，我们就可以按照这个一维数组推出整个矩阵。
然后为什么会优化一个n呢，因为我们原来算矩阵要算出一个n*n的矩阵，而现在只用算粗第一行就够了，所以会有优化。
然后我们再来看这个，上面的乘法还可以改成这样

for(i=0;i<n;++i)    for(c[i]=j=0;j<n;++j)        c[i]+=a[j]*b[i+j>=n?i+j-n:i+j]%m;

可以讲i-j改成i+j，这个就非常有意思了，我们可以这样来看，这个数组实际上是一个圈，还是一个对称的圈，所以i-j相当于下一个数十逆时针的，而i+j就相当于下一个数是顺时针的。
我们再来看一下它的访问顺序：
如果我们看i-j在i=0时 b数组访问顺序为：0 4 3 2 1 对应数字为1 1 0 0 1
我们再来看i+j在i=0时 b数组访问顺序为：0 1 2 3 4 但是对应数字还是为1 1 0 0 1
至此，相信基本已经明白，我们最后再来看一下初始数组的构造

    temp[0]=1;    for(int i=1;i<=d;i++)temp[i]=temp[n-i]=1;

i和n-i的初始值都是一样的，中间算的时候也会是对称的所以我们+或者-都是可以的

然后最后就是我的代码，我是写的1~n上面说的全部是0~n-1这个要注意一下

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<set>#include<queue>#include<algorithm>#include<vector>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<ctime>#include<stack>#define INF 2100000000#define ll long long#define M 1005#define P 1000000007using namespace std;ll n,d,k,inti[M],temp[M];void mulit(ll *a,ll *b){    int c[M];    memset(c,0,sizeof(c));    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++,c[i]%=P)            c[i]+=a[j]*b[i+j-1>n?i+j-n-1:i+j-1]%P;    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=c[i];}int main(){    freopen("B.in","r",stdin);    freopen("B.out","w",stdout);    cin>>n>>d>>k;    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&inti[i]);    temp[1]=1;    for(int i=1;i<=d;i++)temp[1+i]=temp[n-i+1]=1;    while(k)    {        if(k&1)mulit(temp,inti);        mulit(temp,temp);        k>>=1;    }    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",inti[i]%P);    return 0;}

大概就是这个样子，如果有什么问题，或错误，请在评论区提出，谢谢。