单调队列初学:
来源:互联网 发布:深入浅出node.js 完整 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:59
突然想起来学点关于数据结构的东西了,虽然我没太用到这个单调队列,但是还是想学,因为他很神奇,平白无故的降了一个复杂度,下面贴出我学的博客
我们从最简单的问题开始:
给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.
要求:
f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1
问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动,求窗里面所包含的数的最大值。
解法一:
很直观的一种解法,那就是从数列的开头,将窗放上去,然后找到这最开始的k个数的最大值,然后窗最后移一个单元,继续找到k个数中的最大值。
这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较,复杂度为O(N*k)。
那么有没有更快一点的算法呢?
解法二:
我们知道,上一种算法有一个地方是重复比较了,就是在找当前的f(i)的时候,i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢?当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以,这就要用到单调递减队列。
单调递减队列是这么一个队列,它的头元素一直是队列当中的最大值,而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素,可以从队列的两端删除元素。
1.首先看插入元素:为了保证队列的递减性,我们在插入元素v的时候,要将队尾的元素和v比较,如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素,然后继续将新的队尾的元素与v比较,直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。
2.队尾的删除刚刚已经说了,那么队首的元素什么时候删除呢?由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值,所以当队首的元素的索引或下标小于i-k+1的时候,就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了,因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时,将队首元素删除。
从上面的介绍当中,我们知道,单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值,而且要保存元素的索引(当然在实际应用中我们可以只需要保存索引,而通过索引间接找到当前索引的值)。
为了让读者更明白一点,我举个简单的例子。
假设数列为:8,7,12,5,16,9,17,2,4,6.N=10,k=3.
那么我们构造一个长度为3的单调递减队列:
首先,那8和它的索引0放入队列中,我们用(8,0)表示,每一步插入元素时队列中的元素如下:
0:插入8,队列为:(8,0)
1:插入7,队列为:(8,0),(7,1)
2:插入12,队列为:(12,2)
3:插入5,队列为:(12,2),(5,3)
4:插入16,队列为:(16,4)
5:插入9,队列为:(16,4),(9,5)
。。。。依此类推
那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素:8,8,12,12,16,16,。。。
博客来源:http://blog.csdn.net/justmeh/article/details/5844650
贴个模板题来检验,无论现在懂不懂,敲得次数多了,熬也能熬出来,但还是希望能够掌握它的思想,最后附上一个简写的代码http://poj.org/problem?id=2823
注意:这里的窗口大小k是指队列中的最多的元素个数,但也包含少于k的情况
Description
The array is [1 3 -1 -3 5 3 6 7], and k is 3.
Your task is to determine the maximum and minimum values in the sliding window at each position.
Input
Output
Sample Input
8 31 3 -1 -3 5 3 6 7
Sample Output
-1 -3 -3 -3 3 33 3 5 5 6 7
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>#include<stack>using namespace std;#define ll long long#define getMax(a,b) a>b?a:b#define getMin(a,b) a<b?a:bconst int N=1e+6+5;int q[N],p[N],a[N],n,k,i;void Min(){ int head=1,tail=0; for (i=0;i<k-1;i++) { while (head<=tail&&q[tail]>=a[i]) tail--; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; } for (i=k-1;i<n;i++) { while (head<=tail&&q[tail]>=a[i]) tail--; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; while (p[head]<i-k+1) head++; printf(i==n-1?"%d\n":"%d ",q[head]); }}void Max(){ int head=1,tail=0; for (i=0;i<k-1;i++) { while (head<=tail&&q[tail]<=a[i]) tail--; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; } for (i=k-1;i<n;i++) { while (head<=tail&&q[tail]<=a[i]) tail--; q[++tail]=a[i]; p[tail]=i; while (p[head]<i-k+1) head++; printf(i==n-1?"%d\n":"%d ",q[head]); }}int main(){ while (~scanf("%d%d",&n,&k)) { for (i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); Min(); Max(); } return 0;}
#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;const int INF=1<<30;int q[100005],a[1000005],result[1000005];int main(){ int n,i,k; while (~scanf("%d%d",&n,&k)) { int l=0,r=0; for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for (i=1;i<=n;i++) { while (l<=r&&a[q[r]]<a[i]) r--; q[++r]=i; while (l<=r&&q[l]<i-k) l++; result[i]=a[q[l]]; } for (i=k;i<=n;i++) printf("%d\n",result[i]); } return 0;}
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