树形 DP 总结

介绍

1、什么是树型动态规划 

顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向： 

    1、叶－>根：在回溯的时候从叶子节点往上更新信息

    2、根 - >叶：往往是在从叶往根dfs一遍之后（相当于预处理），再重新往下获取最后的答案。

    不管是 从叶－>根 还是 从 根 - >叶，两者都是根据需要采用，没有好坏高低之分。

2、树形动态规划的优美之处

树真的是一种特别特别优美的结构！用来做动态规划也简直是锦上添花再美不过的事，因为树本身至少就有“子结构”性质（树和子树）；也本身就具有递归性。所以在树上DP其实是其所当然的事，相比线性动态规划来讲，转移方程更直观，更易理解。

3、难点

   1、和线性动态规划相比，树形DP往往是要利用递归的，所以对递归不熟悉的同学，是一道小小的障碍，说是小小的，因为要去理解也不难。

   2、细节多，较为复杂的树形DP，从子树，从父亲，从兄弟……已经一些小的要处理的地方，脑子不清晰的时候做起来颇为恶心

   3、状态表示和转移方程，也是真正难的地方。做到后面，树形DP的老套路都也就那么多，难的还是怎么能想出转移方程，状压DP、概率DP这些特别的DP应该说做到最后都是这样！

4、补充

   建有向图还是无向图？ 一般来说我们做树DP都是从上往下递归，如果不乱搞是不会从子节点往根节点的遍历的，这时候可以建有向图，只加边一次就可以，对于有“思想洁癖”的人来说，如果加一次边就可以再让他加两次是很难受的。但是有些题目可能很隐蔽的某个地方涉及到从子节点往上访问，就会错的很惨。所以，一般不非常确定建有向图就可的话还是建无向图吧。

正文

暂时分入门，一般、难三个等级，而不分类别。以后做的题目多了再改。

1、入门题

1、HDU 1520 Anniversary party 子节点和父亲节点不能同时选，问最大价值。题解

2、HDU 2196 Computer 求树上每个点能到达的最远距离  题解

2、一般

1、D. Choosing Capital for Treeland 给一个n节点的有向无环图，要找一个这样的点：该点到其它n-1要逆转的道路最少，（边<u,v>，如果v要到u去，则要逆转该边方向）题解

2、Godfather  求树的重心（删除该点后子树最大的最小）题解

3、POJ 3107 Tree Cutting  求删除哪点后子树最的小于等于节点总数的一半 题解

4、POJ 3140 Contestants Division 删除某边后剩余两个分支差值最小是多少 题解

3、难

1、HDU 3586 Information Disturbing 给定一个带权无向树，要切断所有叶子节点和1号节点（总根）的联系，每次切断边的费用不能超过上限limit，问在保证总费用<=m下的最小的limit。题解

2、POJ 3162 Walking Race  一棵n个节点的树。wc爱跑步，跑n天，第i天从第i个节点开始跑步，每次跑到距第i个节点最远的那个节点（产生了n个距离），现在要在这n个距离里取连续的若干天，使得这些天里最大距离和最小距离的差小于M，问怎么取使得天数最多？题解

3、HDU 5834 Magic boy Bi Luo with his excited tree 每个节点有一个价值Vi，每走一次一条边要花费Ci，问从各个节点出发最多能收获多少价值 题解

4、POJ 2152 Fire n个节点组成的树，要在树一些点上建立消防站，每个点建站都有个cost[i]，每个点如果不在当前的点上建站，也要依赖其他的消防站，并且距离不超过limit[i]。求符合上述条件的最小费用建站方案 题解

5、POJ 1741 Tree 求树上距离小于等于K的点对有多少个 题解

暂时就这么多……还有很多更难的题目等着去做

题目大多是参考 zeroclock大神博客里的。