几种求素数与验证素数的方法
来源:互联网 发布:warframe离线数据模块 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 17:15
博主刚写了一篇Luogu T1125的解题报告,里面涉及到欧拉筛法。本篇博文会介绍一些素数筛法和素数验证法。
博主的数论并不是特别好,各路大神轻点喷
素数筛法
1. Eratosthenes筛法
又名:埃拉托斯特尼筛法
时间复杂度:
难度:☆
具体代码:
memset(check,false,sizeof(check));int tot=0;for(int i=2;i<=n;i++) if(!check[i]) { prime[++tot]=i; for(int j=i*2;j<=n;j+=i)//i的倍数都不是素数 check[j]=true; };
2. Euler筛法
又名:欧拉筛法、线性筛法
时间复杂度:
难度:★
具体代码:
for(int i=2;i<=m;i++){ if(!check[i])prime[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot;j++) { if(i*prime[j]>m)break;//超了范围就不做了,减少运行时间 check[i*prime[j]]=true;//一个数乘另一个数所得到的数一定不是素数 if(i%prime[j]==0)break;//此时i是一个合数,退出 };};
验证素数
普通验证素数法
时间复杂度:
难度:☆
bool flag=true;for(int i=1;i<=trunc(sqrt(prime));i++) if(prime%i==0)flag=false;//置不是素数标志
Miller-Rabin
时间复杂度:
难度:★★★
这里只说明一下原理,关于代码,自行百度吧。
- 根据费马小定理,随机选一个数
a∈(1,p) ,若ap−1≡1 (mod p)则很有可能是素数。多次尝试(尝试k次)若都成立若都成立则判定为素数。 - 但是合数也有可能能通过这一测试:Carmichael数
- Carmichael概念:
卡迈克尔数是一种合数,使得对于所有跟n互质的整数a:an−1≡1 (mod n) - 这种数用此方法测试时,除非random出其因子,不然都无法判断为合数。例如:6。
- 二次探测定理:若n为素数,方程
x2≡1 (mod n)小于n的正整数解只有x=1 和x=n−1 。 - 先计算出m、j,使得
n−1=m∗2j 且j尽可能大。 - 随机选一个数
a∈(1,n) - 计算x=
am mod n - 然后将x不断平方j次,重复如下步骤:
1. 计算y=x2 mod n
2. 如果y=1并且x≠1,n−1 ,此时一定不是素数,退出测试
3. x=y;
4. 如果y=1,暂时认为是素数,回到2.继续下一轮
若上述计算中没有满足2.和4.而正常退出,即不满足an−1≡1 (mod n),一定不是质数
Ps.此方法参考了陈淙靓在清北学堂的课件
此博文到此结束,感谢惠读
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