第四章 n维向量与线性方程组
编者注:
第四章为n维向量与线性方程组,在线性代数整个课程学习中的地位都是至关重要的。线性代数作为工科生的一门基础学科,对于以后个人的发展都是有着极大的促进作用的。
这一章小助手的编写安排是这样的:首先交待第四章的重难点知识,让各位小伙伴们能够对于整体知识有一个相对全面系统的把握;然后是每章的知识点总结,在此编者基本上把重难点的问题给予了证明;最后是该章的典型性习题,笔者认真复习了线性代数整本书的内容及笔记,,考试易错题以及国外的一些关于线性代数的优秀教材,希望所筛选的习题对各位有所帮助。
考虑到当下有些学习辅导的资料质量不高,没有编者自己的思考与理解,因此该章节以相关重要知识点为核心,加入自己的理解使用Typora编写了第四章节。由于本人“比较懒”,因此在不损失逻辑严密性的情况之下喜欢使用符号语言进行表述,因此本章几乎所有题解以及证明都使用的大量的符号语言,而且力求以最为简单的方法将证明过程进行呈现,但是实际上这在一定程度上可以增加了本章的理解难度。
希望各位小伙伴们在真正是将书本知识基本理解的基础上再加入自己的思考看这一部分,因为这不是简简单单知识点的陈列,相信思考之下这一章能够对线性代数整体的理解起到极大的促进作用。
由于此章节完全由笔者编写修订,因此不免有值得商榷甚至错误的地方,希望小伙伴们能够融入自己的思考,如果各位小伙伴们对于学习方面有什么问题,欢迎大家随时来学辅啦~对于笔者编写的这一章如有问题,可以直接联系我:
my email:williamyi96@gmail.com
重点:
- n维向量的概念及其线性运算
- 线性方程组的向量形式
- 向量组的线性组合及向量组间的线性表示
- 线性相关和线性无关的概念及其判定
- 向量组的秩和极大无关组
- 线性方程组解的结构
难点:
- 概念、定义、定理、证明的符号化表述
- 线性相关和线性无关概念的理解
- 向量组的线性相关与线性无关的证明
知识要点:
一. n维向量及其线性运算
1. n维向量及其组成
n维向量: 由数域F中的n个数α1,α2,...,αn 组成的有序数组a⃗ (α1,α2,...,αn)
分量(坐标) 行(列)向量 实(复)向量
数域 F = {0,1,a,b,a+b,a−b,a∗b,a/b(b≠0)}
向量组: 若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合
Fn = {数域F上n维向量的全体},Rn={实数域上的n维向量的全体}
列(行)向量组: 每一列αj=⟮a1ja2j...amj⟯T(j=1→n) 组成的向量组α1,...αn 称为矩阵A的列向量组;由矩阵A的每一行βi=⟮ai1,...,ain⟯(i=1→m) 组成的向量组β1,..βm称为矩阵A的行向量组。
(由此,矩阵A可以表示为A=(α1,α2,...,αn) 或者⟮β1,...,βn⟯T,这样,矩阵A就与其列向量组或者行向量组之间建立了一一对应关系。)
2. 向量的线性运算
α+β=(a1+b1,...,an+bn)α−β=α+(−β)kα=(ka1,...,kan)
运算规律:α+β=β+α(α+β)+γ=α+(β+γ)α+0⃗ =αα+(−α)=0⃗ 1α=αk(lα)=(kl)αk(α+β)=kα+kβ(k+l)α=kα+lα
二. n维向量空间
数域F上n维向量的全体,连同上面定义的向量加法及数乘向量的运算Fn
另外:RnCn
三. 向量组的线性组合与线性表示
线性组合(LC): k1α1...+ksαs
线性表示(线性表出): A,β∃k1,...,ks→β=k1α1...+ksαs
注:
(1)β LC by (A([α1,...,αs]))<=>∃! x⃗ :Ax⃗ =β(2)β LC by (A([α1,...,αs])) and (∃ x⃗ and!(∃ x⃗ !)<=>NumOf(x⃗ )→+∞(3)!(β LC by (A([α1,...,αs])))<=>NumOf(x⃗ )=0
四. 向量组间(A,B…)的线性表示
A LC by B: ∀αi→β=k1α1+,,,+ksαs
A<=>B: (A LC by B) && (B LC by A)
向量组之间等价性质
- 自反性: A LC by A
- 对称性: A LC by B => B LC by A
- 传递性: A LC by B, B LC by C => A LC by C
五. 线性相关性的概念
线性相关(Linearly Dependent): forA, ∃ki≠0→k1α1+...+ksαs=0
线性无关(Linearly Independent): forA, k1α1+...+ksαs=0→ki=0
六. 线性相关性的判定
定理6.1
A=α1,...,αs(s>2),LD(A)<==>∃αi→αi LC by(A/αi)LI(A)<==>!(∃αi→αi LC by(A/αi))
proof: 必要性:LD(A)→(∃ki≠0→k1α1+...+ksαs=0)let k1≠0→α1=−k2k1α2−...−ksk1αs充分性:let α1=l2α2+...+l2αs→−α1+l2α2+...+l2αs=0→−1≠0the proof of the second one is at the same way
定理6.2 LD(A(α1,...,αs))<=>∃x⃗ ≠0⃗ ,Ax⃗ =0⃗ <=>r(A)<sLI(A(α1,...,αs))<=>Ax⃗ =0⃗ →x⃗ =0⃗ <=>r(A)=s
推论: LD(An)<=>det(A)=0LI(An)<=>det(A)≠0
线性相关六大法:1.部分相关组相关(无关组部分无关)2.相关组删坐标仍相关(无关组增坐标仍无关)3.a⃗ i无关,a⃗ ,a⃗ i相关<==>a⃗ 可由a⃗ i唯一表示4.e⃗ i无关,且a⃗ 可由e⃗ i唯一表示5.e⃗ p可由无关a⃗ i表示6.元数超过维数必相关
proof:
1,4.easy2.Hint:删坐标指的是同维度的坐标变化3.存在性: let ka⃗ +k1a⃗ 1+...,kia⃗ i=0if a⃗ =0⃗ →a⃗ =0⃗ =ka⃗ +k1a⃗ 1+...,kia⃗ i=0;if a⃗ ≠0⃗ (1) k=0→LI(a⃗ ,a⃗ i) impossible; (2) k≠0→a⃗ =−k1ka⃗ 1+...+−kika⃗ i唯一性:let a⃗ =k1a⃗ 1+...+kia⃗ i (3)and a⃗ =l1a⃗ 1+lia⃗ i (4)(3)−(4): (k1−l1)a⃗ 1+...+(ki−li)a⃗ i=0for LI (a⃗ i)→ki=li
5.LI(a⃗ i)→a⃗ p≠0⃗ let a⃗ 1=a11e⃗ 1+...+an1e⃗ n→let a11≠0 →e⃗ 1=b1a⃗ 1+b2e⃗ 2+...+bne⃗ nlet a⃗ 2=a12e⃗ 1+...+an2e⃗ n→e⃗ 1a⃗ 2=c1a⃗ 1+c2e⃗ 2+...+cne⃗ n→let a12≠0 →e⃗ 2=d1a⃗ 1+d2a⃗ 2+b2e⃗ 2+...+bne⃗ n...e⃗ p=k1a⃗ 1+...+kna⃗ n6.a⃗ n+1=a1,n+1e⃗ 1+...+an,n+1e⃗ n=b1a⃗ 1+...+bna⃗ nif n>m=>∃x⃗ ≠0⃗ →[a⃗ 1,...,a⃗ n]x⃗ =Ax⃗ =0⃗
Hint: a⃗ i, a⃗ j, a⃗ k是指有一个向量组向量数为i,a⃗ p指一个向量组中指定的一个任意向量(记为a⃗ P)
七. 向量组的秩与极大无关组
定理7.1
A(α1,...,αs) LC byB(β1,...,βr)(1).s>r→LD(A)(2).LI(A)→s≤r
推论7.1
LI(As),LI(Br),A<=>B→s=r
极大线性无关组(极大无关组) Un,αi(i=1→s), αj(j=1→n),LI(α1,...,αs), αj LC by[α1,...,αs]→(α1,...,αs)ME(U)
注:ME(极大无关组) AsME(U):=A is maximal set of linearly independent elements of U
定理7.2
AsME(U),BrME(U)→s=r
*proof: let [b⃗ 1,...,b⃗ t] ME {a⃗ i}→[b⃗ 1,...,b⃗ t]=[a⃗ 1,...,a⃗ s]Cs∗rif t>s=>∃x⃗ ≠0⃗ →Cs∗rx⃗ =0⃗ =>[b⃗ 1,...,b⃗ t]x⃗ =[a⃗ 1,...,a⃗ s]Cs∗rx⃗ =0 impossible(LI({b⃗ i}))→t≤sby the same way s≤r=>s=r
向量组的秩 r(U):=ME(U)(if U=0⃗ ,r(U)=0)
*秩定理 1.[b⃗ 1,...,b⃗ m]=[a⃗ 1,...,a⃗ n]D→r{b⃗ k}≤r{a⃗ i}2.r{a⃗ 1,...,a⃗ n}=[a⃗ 1,...,a⃗ n]=r(A)3.r(AB)≤min{r(A),r(B)}4.max{r(A),r(B}≤r([A|B])5.r(A+B)≤r[A|B]≤r(A)+r(B)
*proof:
1.[b⃗ 1,...,b⃗ m]=[b⃗ 1,...,b⃗ s]C1, [a⃗ 1,...,a⃗ n]=[a⃗ 1,...,a⃗ t]C2→ [b⃗ 1,...,b⃗ s]=[a⃗ 1,...,a⃗ t]C2.easy3.((AB=AB)→(r(AB)≤r(A)) and ((AB)T=BTAT)→r(AB)≤r(A))→r(AB)≤min{r(A),r(B)}4.((A=[A|B][E|O]T)→(r(A)≤r([A|B])) and (B=[A|B][O|E]T)→(r(B)≤r([A|B]))) →max{r(A),r(B)}≤r([A|B])5.((A+B=[A|B][E|E]T)→r(A+B)≤r([A|B])and ([A|B]1,2,3→[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t]≤r(A)+r(B))→r(A+B)≤r[A|B]≤r(A)+r(B)Hint:([A|B]1,2,3→[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t]≤r(A)+r(B))means ([A|B]=[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t] C≤r(A)+r(B))
八. 线性方程组解的结构
齐次线性方程组
A⃗ x⃗ =0⃗ or x1α+...+xnαn=0⃗
齐次线性方程组性质
性质8.1
ζ1,ζ2 are solutions of A⃗ x⃗ =0⃗ →ζ1+ζ2 is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗
性质8.2 ζ is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗ →kζ is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗
基础解系(Bases) ζi(i=1→t) are the solutions of A⃗ x⃗ =0⃗ LI(ζi(i=1→t)), ∀x⃗ ,x⃗ LC by ζi(i=1→t)ζi(i=1→t) is one base of A⃗ x⃗ =0⃗
解的结构
定理8.1(基础解系的向量数)
Am∗n,r(A)=r<n→there must exists one or more bases and NumOf(vectors)=n−r
定理8.2(基础解系的向量数) ∀LI(a⃗ 1,...,a⃗ n−r) and they are the solutions of Ax⃗ =0⃗ →they are one base
非齐次线性方程组性质8.3
ζ1,ζ2are solutions of Ax⃗ =b⃗ →(ζ1−ζ2)is the solutions ofAx⃗ =0⃗
性质8.4
ζ is the sol of Ax⃗ =b⃗ and η is the sol of Ax⃗ =0⃗ →(η+ζ) is the sol Ax⃗ =b⃗
定理8.3(非齐次线性方程组解的结构定理)注: ζ∗ 为Ax⃗ =0⃗ 的特解,{η1,...,ηn−r} 为Ax⃗ =0⃗ 的基础解系,也称为结构式通解(结构解)
性质8.5
ATAx⃗ =ATb⃗ 一定有解(A为实矩阵)
引理1: (Ax⃗ =0⃗ →Bx⃗ =0⃗ )→r(B)≤r(A)proof:(ME)A=(ME)BC→n−r(A)≤n−r(B)
引理2: r(A)≤r(AT)proof:ATAx⃗ =0⃗ →x⃗ TATAx⃗ =0⃗ <=>Ax⃗ =0⃗
proof:8.5 r(ATA)≤r(ATA|ATb⃗ )=r(AT[A|b⃗ ])≤r(AT)r(ATA)=r(AT)→r(ATA¯¯¯¯¯¯¯)=r(ATA)
典型例题:
注:
1.以下所有解题方法均选取目前笔者理解的最简方法,由于笔者能力有限,若有更简解法欢迎联系我。
2.以下所有例题不按照上述概念的先后知识点顺序考察;
3.实际上下述例题基本涵盖了线性代数第四章的重要知识点,希望小伙伴能够认真消化,不要刷题,结合书本,把这些题目弄懂问题不会很大。
以下是典型例题:
1.已知平面上3条不同直线的方程分别为(其中a,b,c为常数):
ax+2by+3c=0;bx+2cy+3a=0;cx+2ay+3b=0;
证明这三条直线交于一点的充要条件为a+b+c = 0.
考查点: 方程组的解与直线交点的联系
思路: 三条直线交于一点的解释为方程组有唯一解
solution:
必要性:交于一点则r(A) = r(A¯¯¯) = 2, 则有det(A¯¯¯)=0 ,解得a+b+c = 0;
充分性:将a+b+c =0 带入第一个原方程组化简得r(A) = 2
2.向量组α1=(−2,3,1)T,α2=(2,t,−1)T,α3=(0,0,1)T 线性相关,则常数t的值为多少?
考查点: 线性相关以及线性无关的判定方法
思路: 线性相关→ |α1,α2,α3|=0
solution: t = -3
3.设四阶可逆方阵A按列分块为A=[α1,α2,α3,α4] ,方阵B=[α4,α1,α3,α2]. 已知线性方程组Bx⃗ =b⃗ 的解唯一为x⃗ =(1,3,5,7)T ,则方程组Ax⃗ =b⃗ 的解x⃗ 为多少?
考查点: 线性方程组概念的理解
思路: 进行方程组的线性重排
solution:
Bx⃗ =b⃗ →x4α4+x1α1+x3α3+x2α2=b⃗ →1∗α4+3∗α1+5∗α3+7∗α2=b⃗ →3∗α1+7∗α2+5∗α3+1∗α4=Ax⃗ =b⃗ sol:(3,7,5,1)T
4.设有一组向量:
α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,−1,a)T,β=(3,10,b,4)T
问a, b 取何值时,
β 可以由向量组
α1,α2,α3 线性表示?并且在可以线性表示时,求出此表达式。
考查点: 线性表示的判定以及矩阵行阶梯化
思路: 先将矩阵类行阶梯化,分析变量的可能性情况,进行分析
solution:
let x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=βA¯¯¯=[A|β]=[α1 α2 α3 β]→1,2,3=1 2 0 3 0 1 −1 2 =B0 0 a−1 00 0 0 b−2(1)b≠2→无解,!(β LC byA)(2)b=2 and a≠1→r(A)=r(A¯¯¯)=3,唯一解将B化为最简行阶梯型→x1=−1,x2=2,x3=0→β=−1α1+2α2+0α3(3)b=2 and a=1→r(A)=r(A¯¯¯)=2<3,有解且有无穷多解将B化为最简行阶梯型→x1=−1−2c,x2=2+c,x3=cβ=(−1−2c)α1+(2+c)α2+cα3(c为任意常数)
5.设有两个方程组:
A:α1=(1,1,0,0)T,α2=(1,0,1,1)T,α3=(1,3,−2,−2)TB:β1=(2,−1,3,3)T,β2=(0,1,−1,1−)T
证明:A和B等价.
考查点: 考察的是等价的概念以及高斯消元法的运用
思路: 将增广矩阵化为最简行阶梯型→ r(A), r(A|B)→ 线性方程组的有解判定定理→ 线性表示
solution:
易得r(A) = r(A|βj) = 2 (j = 1,2),由有解判定定理可知βj LC byA
且r(B) = r(B|αi(i=1,2,3)), 故αi LC byB
6.设向量组 LI(α1,α2,α3),且β1=α1+2α2,β2=2α1+3α2+4α3,β3=5α1+6α2+7α3 ,试判别βi 的线性相关性
考查点: 线性相关的概念及表示法
思路: 此题解法较多,此处选取最为直观的解法
solution:
let x1β1+x2β2+x3β3=0⃗ →将βi带入,再化简为αi为变量的形式:(x1+2x2+5x3)α1+(2x1+3x2+6x3)α2+(4x2+7x3)α3=0⃗ LI(αi)→(x1+2x2+5x3)=0(2x1+3x2+6x3)=0:Q(4x2+7x3)=0det(Q)=9≠0→(∃!xi=0(i=1,2,3)→Q)→LI(βi)
7.
LI(Am)(m>3) 证明:
LI(βi)(i=1,2,m)β1=α2+...+αn,β2=α1+α3+...+αnβm=α1+...+αm−1
考查点: 线性无关的概念及其表示法
思路: 构造以βi 为变元的方程组,利用αi 的相关性求解
solution:
key:k1β1+k2β2+kmβm=0⃗
8.LI(A(α1→s)) is the solution of Ax⃗ =0⃗ ,βis the solution of Ax⃗ =b⃗
证:LI(β,α1+β,...,αs+β) is the solution of Ax⃗ =b⃗
考查点: 线性方程组解的结构定理以及线性无关的判定
思路: 先证明αi+β(i=0,1,...s) 是线性非齐次方程的解,再证明线性无关
solution:
据线性方程组解的结构定理:αi+β 是线性非齐次方程的解
以下证明线性无关:
β+k1(α1+β)+...+ks(αs+β)=0⃗ →(k+k1+...+ks)β+k1α1+...+ksαs=0⃗ LI(A)→ki(i=1→s)=0→kβ=0β≠0⃗ →k=0
9.求r(A), ME,
(A/ME) LC by ME (用极大无关组线性表示该组中其他向量)
α1=(1,−2,0,3)T,α2=(2,−5,−3,6)Tα3=(0,1,3,0)T,α4=(2,−1,4,−7)T,α5=(5,−8,1,2)T
考查点: 秩与极大无关组的概念以及求解方法
思路: 关键在于得到最简行阶梯型
solution:
A=[α1,α2,α3,α4,α5]→1,2,31 2 0 2 50−1 1 3 2=B0 0 0−5−50 0 0 0 0→r(A)=3→ME(α1,α2,α4)((α2,α5) LC by(ME)??)1 0 2 0 10 1 −1 0 1=B0 0 0 1 10 0 0 0 0→α3=2α1−α2,α5=α1+α2+α4
11.求下列其次线性方程组的基础解系与结构式通解:
x1+2x2+4x3−3x4=03x1+5x2+6x3−4x4=04x1+5x2−2x3+3x4=03x1+8x2+24x3−18x4=0
考查点: 基础解系的获取方法以及结构式通解的构成以及求解方法
思路:初等变换得最简行阶梯型→ 通解→ 解向量→ 基础解系
solution:
A=1 0−8 70 1 6 −50 0 0 00 0 0 0通解为:x1=8x3−7x4,x2=−6x3+5x4(x3,x4为自由未知量)令x3=1,x4=0,ζ1=(8,−6,1,0)T;令x3=0,x4=1,ζ2=(−7,5,0,1)T则ζ1,ζ2为方程组的基础解系结构式通解x⃗ =c1ζ1+c2ζ2
12.试讨论三个平面的位置关系:
x+2y+z=1,2x+3y+(a+2)z=3,x+ay−2z=0
考查点: 将线性方程组解的情况与平面间位置关系的结合
思路: 初等变换为最简行阶梯式,再分情况讨论联系平面性质求解
solution:
A¯¯¯=[A|b⃗ ]=1 21 10−1 a 10 0 (a−3)(a+1)a−3方法与前题相似,易得:(1)a≠3 and a≠−1→r(A)=r(A¯¯¯)=3,唯一解,三个平面交于一点;(2)a=3→r(A)=r(A¯¯¯)=2,有无穷多解,通解为:[3 −1 0]T+c[−7 3 1]T(c为任意实数)三个平面相交于直线l(l是过点(3,−1,0),以(−7,3,1,)T为方向向量的空间直线)a=−1→r(A)=2<r(A¯¯¯)=3,无解,三个平面不平行且没有公共点,则两两相交
13.设矩阵Am∗n,Bn∗p 满足 AB=0⃗ , 证明:r(A)+r(B)≤n
考查点: 极大无关组与秩的概念及与极大无关组的联系
思路: A = B C → r(A) ≤ r(B)
solution:
AB=0⃗ →B=[p⃗ 1...p⃗ n−r(A)]K→r(B)≤n−r(A)
14.A为n(
2≠n)阶方阵,
A∗,证明:
r(A∗)=(1)n,r(A)=n;(2)1,r(A)=n−1;(3)0,r(A)≤n−2
考查点: 此处实际上考察的是矩阵的秩
思路: 根据矩阵的相关性质求解
solution:
(1):AA∗=det(A) E→det(A∗)=det(A)n−1≠0→r(A∗)=n(2):AA∗=0,r(A)+r(A∗)≤n(3):det(Aij)=0
15.
A=[α1 α2 α3 α4],LI(α1,α2,α3),α4=−α1+2α2,β=α1+2α2+3α3+4α4Ax⃗ =β⃗ 的通解x⃗ ?
考查点: 通解的构成及特征解,齐次一般解的求法
思路: x⃗ =ζ∗+η
solution:
(1,2,3,4)T+c(−1,2,0,1)T
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