二叉搜索树

二叉搜索树（BST）是一种树，他的特点是节点的子树不超过两个，且大小是有顺序的，任意一点节点其左孩子小于节点值小于右孩子，他的左右子树依然满足。二叉搜索树平均深度是O(log N)，所以一般不担心栈空间被耗尽。

privata static calss BinNode<AnyTape>{BinNode(AnyTape element){this(element,null,null);}BinNode(AnyTape element,BinNode<AnyTape> left,BinNode<AnyTape> right){this.element = element;this.left = left;this.right = right;}AnyTape element;BinNode<AnyTape> left;BinNode<AnyTape> right;}

这是二叉搜索树数据结构的定义

二叉树主要有查找，插入删除这几个操作，下面一一描述。

二叉搜索树的查找。顾名思义如果含有该节点就返回true，否则返回false。

废话不多说看代码理解。

privata boolean search(AnyType x,BinNode<AnyType> t){if(t == null)return false;int result = x.compareTo(t.element);  //将x与节点值比较if( result < 0)//如果X小于节点值，则递归搜索节点的左子树return search(x,t.left);else if( result > 0)//如果X大于节点值，则递归搜索节点的右子树return search(x,t.right);else    //如果X等于节点值，则存在，返回truereturn true;}

接下来是常用的两个函数，findMin和findMax查找最小值和最大值，最小值就是沿左侧一直向下，直到没有左子树，最大值沿右侧一直向下，没有右子树为止。

private BinNode<AnyType> findMin(BinNode<AnyType> t){if(t == null)return;else if(t.left == null)return t;elsereturn findMin(t.left)}

findMin采用的是递归查找，如果节点左孩子为空，返回节点，这就是最小值，如果还有继续递归。

private BinNode<AnyType> findMax(BinNode<AnyType> t){if(t!= null){while(t.right != null)t = t.right;}return t;}

findMax非递归实现

二叉搜索树的插入

private BinNode<AnyType> insert(AnyType x,BinNode<AnyType> t){if(t == null)return new BinNode<>(x,null,null);int result = x.compareTo(t.element);if( result < 0)//如果X小于节点值，则在左子树插入，递归更新t.left = insert(x,t.left);else if( result > 0)//如果X大于节点值，则在右子树插入，递归t.right = insert(x,t.right);return t;}

二叉搜索树的删除，相对来说remove是较为困难的。如果节点是一片叶子，直接删去就好。如果节点有一个儿子，那就父节点调整自己的链绕过该节点删除。

如果是有两个儿子的节点，用右子树最小值代替节点，因为最小值不可能有左儿子，所以第二次remove就简单多了并递归删除节点。

第一幅图是具有一个儿子的节点4删除前后情况，删除4需要他的父节点2绕过4这个节点，直接将3变成2的右孩子，完成删除。

第二幅图是具有两个儿子的节点2删除前后情况，删除2需要在右子树里找到最小值3代替2，在删除原来3位置上的3，即完成了删除。

有时候删除次数不多，通常采用懒惰删除，当节点要删掉时，仍留在树中，只是被标记为删除。

private BinNode<AnyType> remove(AnyType x,BinNode<AnyType> t){if(t == null)return t;int result = x.compareTo(t.element);if( result < 0)//如果X小于节点值，则在左子树删除，递归更新t.left = remove(x,t.left);else if( result > 0)//如果X大于节点值，则在右子树删除，递归t.right = remove(x,t.right);else if( t.left != null && t.right != null){//两儿子t.element = findMin(t.right).element;//找到右子树最小值t.right = remove(t.element,t.right)//删除右子树最小值原来的位置}elset = (t.left != null)?t.left:t.right;//如果是一个儿子或者没有，哪个儿子不为空就返回哪个儿子return t;}

值得注意的是，上面的操作第一步都是先测试是否是空树，否则会产生企图通过null引用访问数据域的NullPointerException异常。

二叉树性能分析

有N个关键码的集合，构成的二叉树有Cn2n/n+1种，平均搜索长度是ASLsucc = pi*ci/n，pi是内节点的值，ci是内节点所在的层次，ASLun=pj*cj/(n+1),pj是外节点的值，cj是外节点所在的层次

最优二叉树是权值最大的结点离根节点最近