博弈论中的几个经典问题

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几个博弈论中的经典问题

博弈论(Game Theory),亦名“对策论”、“赛局理论”,属应用数学的一个分支, 博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为,并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。
几个重要的概念
1、 策略(strategies):一局博弈中,每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案,即方案不是某阶段的行动方案,而是指导整个行动的一个方案,一个局中人的一个可行的自始至终全局筹划的一个行动方案,称为这个局中人的一个策略。如果在一个博弈中局中人都总共有有限个策略,则称为“有限博弈”,否则称为“无限博弈”。
2、 得失(payoffs):一局博弈结局时的结果称为得失。每个局中人在一局博弈结束时的得失,不仅与该局中人自身所选择的策略有关,而且与全局中人所取定的一组策略有关。所以,一局博弈结束时每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组策略的函数,通常称为支付(payoff)函数。
3、 次序(orders):各博弈方的决策有先后之分,且一个博弈方要作不止一次的决策选择,就出现了次序问题;其他要素相同次序不同,博弈就不同。
4、 博弈涉及到均衡:均衡是平衡的意思,在经济学中,均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中,某一商品市场如果在某一价格下,想以此价格买此商品的人均能买到,而想卖的人均能卖出,此时我们就说,该商品的供求达到了均衡。

5、 纳什均衡(Nash Equilibrium):

纳什均衡是一种策略组合,使得同一时间内每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。
假设有n个局中人参与博弈,如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益(即为了自身利益的最大化,没有任何单独的一方愿意改变其策略的),则此策略组合被称为纳什均衡。
纳什均衡的数学定义:在博弈G=﹛S1,…,Sn:u1,…,un﹜中,如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合(s1*,…,sn*)中,任一博弈方i的策略si*,都是对其余博弈方策略的组合(s1*,…s*i-1,s*i+1,…,sn*)的最佳对策,也即ui(s1*,…s*i-1,si*,s*i+1,…,sn*)≥ui(s1*,…s*i-1,sij*,s*i+1,…,sn*)对任意sij∈Si都成立,则称(s1*,…,sn*)为G的一个纳什均衡

在纳什均衡点上,每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。纳什均衡点存在性证明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。所谓“均衡偶”是在二人零和博弈中,当局中人A采取其最优策略a*,局中人B也采取其最优策略b*,如果局中人B仍采取b*,而局中人A却采取另一种策略a,那么局中人A的支付不会超过他采取原来的策略a*的支付。这一结果对局中人B亦是如此。


经典的博弈问题

1、“囚徒困境”
“囚徒困境”是博弈论里最经典的例子之一。讲的是两个嫌疑犯(A和B)作案后被警察抓住,隔离审讯;警方的政策是"坦白从宽,抗拒从严",如果两人都坦白则各判8年;如果一人坦白另一人不坦白,坦白的放出去,不坦白的判10年;如果都不坦白则因证据不足各判1年。
在这个例子里,博弈的参加者就是两个嫌疑犯A和B,他们每个人都有两个策略即坦白和不坦白,判刑的年数就是他们的支付。可能出现的四种情况:A和B均坦白或均不坦白、A坦白B不坦白或者B坦白A不坦白,是博弈的结果。A和B均坦白是这个博弈的纳什均衡。这是因为,假定A选择坦白的话,B最好是选择坦白,因为B坦白判8年而抵赖却要判十年;假定A选择抵赖的话,B最好还是选择坦白,因为B坦白判不被判刑而抵赖确要被判刑1年。即是说,不管A坦白或抵赖,B的最佳选择都是坦白。反过来,同样地,不管B是坦白还是抵赖,A的最佳选择也是坦白。结果,两个人都选择了坦白,各判刑8年。在(坦白、坦白)这个组合中,A和B都不能通过单方面的改变行动增加自己的收益,于是谁也没有动力游离这个组合,因此这个组合是纳什均衡。

囚徒困境反映了个人理性和集体理性的矛盾。如果A和B都选择抵赖,各判刑1年,显然比都选择坦白各判刑8年好得多。当然,A和B可以在被警察抓到之前订立一个"攻守同盟",但是这可能不会有用,因为它不构成纳什均衡,没有人有积极性遵守这个协定。


2、海盗分金币问题
在一座座荒岛上,有5个强盗掘出了100块非常珍贵的金币。他们商定了一个分配金币的规则:首先抽签决定每个人的次序,排列成强盗一至五。然后由强盗一先提出分配方案,经5人表决,如多数人同意,方案就被通过,否则强盗一将被扔入大海喂鲨鱼。如果强盗一被扔入大海,就由强盗二接着提出分配方案,如多数人同意方案就被通过,否则强盗二也要被扔入大海。以下依次类推。假定每个强盗都足够聪明,都能做出理性的选择,那么,强盗一提出什么样的分配方案,能够使自己得到最大的收益?
对于这个问题要采用方向推导方法:
如果1至3号强盗都喂了鲨鱼,只剩4号和5号的话,5号一定投反对票让4号喂鲨鱼,以独吞全部金币。所以,4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点,就会提出“100,0,0”的分配方案,对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有,因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票,再加上自己一票,他的方案即可通过。
不过,2号推知3号的方案,就会提出“98,0,1,1”的方案,即放弃3号,而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利,他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样,2号将拿走98枚金币。
同样,2号的方案也会被1号所洞悉,1号并将提出(97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2)的方案,即放弃2号,而给3号一枚金币,同时给4号(或5号)2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号(或5号)来说,相比2号分配时更优,他们将投1号的赞成票,再加上1号自己的票,1号的方案可获通过,97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了!
答案是:1号强盗分给3号1枚金币,分给4号或5号强盗2枚,自己独得97枚。分配方案可写成(97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2)。
1号看起来最有可能喂鲨鱼,但他牢牢地把握住先发优势,结果不但消除了死亡威胁,还收益最大。而5号,看起来最安全,没有死亡的威胁,甚至还能坐收渔人之利,却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小杯羹。

在“海盗分金”中,任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是,事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么,并用最小的代价获取最大收益,拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。


3、旅行者困境
两个旅行者从一个以出产细瓷花瓶著称的地方旅行回来,他们都买了花瓶。提取行李的时候,发现花瓶被摔坏了,于是他们向航空公司索赔。航空公司知道花瓶的价格大概在八九十元的价位浮动,但是不知道两位旅客买的时候的确切价格是多少。于是,航空公司请两位旅客在100元以内自己写下花瓶的价格。如果两人写的一样,航空公司将认为他们讲真话,就按照他们写的数额赔偿;如果两人写的不一样,航空公司就认定写得低的旅客讲的是真话,并且原则上按这个低的价格赔偿,同时,航空公司对讲真话的旅客奖励2元,对讲假话的旅客罚款2元。

为了获取最大赔偿而言,本来甲乙双方最好的策略,就是都写100元,这样两人都能够获赔100元。可是不,甲很聪明,他想:如果我少写1元变成99元,而乙会写100元,这样我将得到101元。何乐而不为?所以他准备写99元。可是乙更聪明,他算计到甲要算计他写99元,于是他准备写98元。想不到甲还要更聪明一个层次,估计到乙要写98元来坑他,于是他准备写97元……大家知道,下象棋的时候,不是说要多“看”几步吗,“看”得越远,胜算越大。 你多看两步,我比你更强多看三步,你多看四步,我比你更老谋深算多看五步。在花瓶索赔的例子中,如果两个人都“彻底理性”,都能看透十几步甚至几十步上百步,那么上面那样“精明比赛”的结果,最后落到每个人都只写一两元的地步。事实上,在彻底理性的假设之下,这个博弈唯一的纳什均衡。


4、枪手博弈
彼此痛恨的甲、乙、丙三个枪手准备决斗。甲枪法最好,十发八中;乙枪法次之,十发六中;丙枪法最差,十发四中。如果三人同时开枪,并且每人只发一枪;第一轮枪战后,谁活下来的机会大一些?
一般人认为甲的枪法好,活下来的可能性大一些。但合乎推理的结论是,枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。
我们来分析一下各个枪手的策略。
枪手甲一定要对枪手乙先开枪。因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大,甲应该首先干掉乙,这是甲的最佳策略。
同样的道理,枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲。乙一旦将甲干掉,乙和丙进行对决,乙胜算的概率自然大很多。
枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。乙的枪法毕竟比甲差一些,丙先把甲干掉再与乙进行对决,丙的存活概率还是要高一些。
我们计算一下三个枪手在上述情况下第一轮枪战中的存活几率:
甲:24%(被乙丙合射40% X 60% = 24%)
乙:20%(被甲射100% - 80% = 20%)
丙:100%(无人射丙)
第二轮枪战中甲乙丙存活的几率粗算如下:
(1) 假设甲丙对决:甲的存活率为60%,丙的存活率为20%。
(2) 假设乙丙对决:乙的存活率为60%,丙的存活率为40%。
第一轮:
甲射乙,乙射甲,丙射甲。
甲的活率为24%(40% X 60%),乙的活率为20%(100% - 80%),丙的活率为100%(无人射丙)。
第二轮:
情况1:甲活乙死(24% X 80% = 19.2%)
      甲射丙,丙射甲──甲的活率为60%,丙的活率为20%。
情况2:乙活甲死(20% X 76% = 15.2%)
      乙射丙,丙射乙──乙的活率为60%,丙的活率为40%。
情况3:甲乙皆活(24% X 20% = 4.8%)
      重复第一轮。
情况4:甲乙皆死(76% X 80% = 60.8%)
      枪战结束。
甲的活率为12.672%
(19.2% X 60%) + (4.8% X 24%) = 12.672%
乙的活率为10.08%
(15.2% X 60%) + (4.8% X 20%) = 10.08%
丙的活率为75.52%
(19.2% X 20%) + (15.2% X 40%) + (4.8% X 100%) + (60.8% X 100%) = 75.52%
通过对两轮枪战的详细概率计算,我们仍然发现枪法最差的丙存活的几率最大,枪法较好的甲和乙的存活几率仍远低于丙的存活几率。

对于这样的例子,有人会发出“英雄创造历史,庸人繁衍子孙”的感叹。


5、硬币正反

硬币正反
你正在图书馆枯坐,一位陌生美女主动过来和你搭讪,并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议:“让我们各自亮出硬币的一面,或正或反。如果我们都是正面,那么我给你3元,如果我们都是反面,我给你1元,剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢?这基本是废话,当然该。问题是,这个游戏公平吗?
每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡,一种是纯策略纳什均衡,也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面),使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡,而在这个游戏中,便应该采用混合策略纳什均衡。
假设我们出正面的概率是x,反面的概率是1-x,美女出正面的概率是y,反面的概率是1-y。为了使利益最大化,应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等(不然对方可以改变正反面出现的概率让我们的总收入减少),由此列出方程就是
3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )
解方程得x=3/8。
同样,美女的收益,列方程
-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)
解得y也等于3/8,而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们,在双方都采取最优策略的情况下,平均每次美女赢1/8元。
其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案,不论你再采用什么方案,都是不能改变局面的。但是当你也采用最佳策略时,至少可以保证自己输得最少。否则,你肯定就会被美女采用的策略针对,从而赔掉更多。

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