编程之美读书笔记-计算字符串的相似度

题目：许多程序会大量使用字符串。对于不同的字符串，我们希望能够有办法判断其相似程度。我们定义一套操作方法来把两个不相同的字符串变得相同，具体的操作方法为：
1.修改一个字符(如把a替换为b);
2.增加一个字符(如把abdd变为aebdd);
3.删除一个字符(如把travelling变为traveling)。
比如，对于abcdefg和abcdef两个字符串来说，我们认为可以通过增加/减少一个g的方式来达到目的。上面的两种方案，都仅需要一次操作。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离，而相似度等于距离+1的倒数。也就是说，abcdefg和abcdef的距离为1，相似度 为1/2=0.5。给定任意两个字符串，你是否能写出一个算法来计算它们的相似度呢？
解析：不难看出，两个字符串的距离肯定不超过它们的长度之和(我们可以通过删除操作把两个串都转化为空串)。虽然这个结论对结果没有帮助，但至少可以知道，任意两个字符串的距离都是有限的。考虑如何才能把这个问题转化成规模较小的同样的子问题。如果有两个串A=xabcdae和B=xfdfa，它们的第一个字符是相同的，只要计算A[2,...,7]=abcdae和B[2,...,5]=fdfa的距离就可以了。但是如果两个串的第一个字符不相同，那么可以进行 如下的操作(lenA和lenB分别是A串和B串的长度)。
1.删除A串的第一个字符，然后计算A[2,...,lenA]和B[1,...,lenB]的距离。
2.删除B串的第一个字符，然后计算A[1,...,lenA]和B[2,...,lenB]的距离。
3.修改A串的第一个字符为B串的第一个字符，然后计算A[2,...,lenA]和B[2,...,lenB]的距离。
4.修改B串的第一个字符为A串的第一个字符，然后计算A[2,...,lenA]和B[2,...,lenB]的距离。
5.增加B串的第一个字符到A串的第一个字符之前，然后计算A[1,...,lenA]和B[2,...,lenB]的距离。
6.增加A串的第一个字符到B串的第一个字符之前，然后计算A[2,...,lenA]和B[1,...,lenB]的距离。
在这个题目中，我们并不在乎两个字符串变得相等之后的字符串是怎样的。所以，可以将上面的6个操作合并为：
1.一步操作之后，再将A[2,...,lenA]和B[1,...,lenB]变成相字符串。
2.一步操作之后，再将A[2,...,lenA]和B[2,...,lenB]变成相字符串。
3.一步操作之后，再将A[1,...,lenA]和B[2,...,lenB]变成相字符串。
这样，很快就可以完成一个递归程序。

#include <string> #include <iostream> #include <algorithm>  using namespace std;int calculateStringDistance(string strA, int pABegin, int pAEnd, string strB, int pBBegin, int pBEnd){if (pABegin > pAEnd){if (pBBegin > pBEnd)return 0;elsereturn pBEnd - pBBegin + 1;}if (pBBegin > pBEnd){if (pABegin > pAEnd)return 0;elsereturn pAEnd - pABegin + 1;}if (strA[pABegin] == strB[pBBegin]){return calculateStringDistance(strA, pABegin + 1, pAEnd, strB, pBBegin + 1, pBEnd);}else{int t1 = calculateStringDistance(strA, pABegin, pAEnd, strB, pBBegin + 1, pBEnd);int t2 = calculateStringDistance(strA, pABegin + 1, pAEnd, strB, pBBegin, pBEnd);int t3 = calculateStringDistance(strA, pABegin + 1, pAEnd, strB, pBBegin + 1, pBEnd);return min(min(t1, t2), t3) + 1;}}int main(){string A = "xabcde";string B = "wxabcds";cout << calculateStringDistance(A, 0, A.length() - 1, B, 0, B.length()-1) << endl;return 0;}

上面的递归程序，有什么地方需要改进呢？在递归的过程中，有些数据被重复计算了。

可以看到，圈中的两个子问题被重复计算了。为了避免这种不必要的重复计算，可以把子问题计算后的解存储起来。