SLAM代码（lie group基础）

李群基本数学定义

• 群:集合G + 操作符 ∘ ∶ G ∘ G → G,满足:
• 封闭性: g1g2∈G,∀g1,g2∈G
• 结合律: g1∘g2∘g3=g1∘g2∘g3,∀g1,g2,g3∀G
• 单位元: ∃e∈G:e∘g=g∘e=g,∀g∈G
• 可逆性:∃g−1∈G:g∘g−1=g−1∘g=e,∀g∈G

李群:群 + 光滑

• 群操作符的映射,是光滑映射
• (整数群Z不是李群)

李群的李代数:向量空间 + 双线性操作符(李括号)

• 数学空间,一个数域上的代数(algebra over a field)
• 操作符4个性质:封闭性、双线性、alternating、雅克比等式(略)
• 李群在单位元素处的切空间

常用李群举例

一般线性群:GL(n)

• 所有n×n的可逆矩阵
• 操作符为矩阵乘法
• 单位元是单位矩阵I n×n

正交群:O(n)⊂GL(n)

• O(n)={R∈GL(n)|RTR=I}

特殊正交群:SO(n)⊂O(n)⊂GL(n)

• SO(n)={R∈GL(n)|RTR=I,det(R)=+1}

欧几里得群:E(n)⊂GL(n+1)

• E(n)={[R0t1]|R∈O(n),t∈Rn}

特殊欧几里得群: SE(n)⊂GL(n+1)

• SE(n)={[R0t1]|R∈SO(n),t∈Rn}

group physical meaning SO3 Rotation SE3 poses

lie 代数

构成
1. 向量空间, vectorspace
2. 数域, some field
3. 李括号 lie bracket

李括号满足的性质.

对于SO(3)SO(3)和SE(3)SE(3)，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的so(3)so(3)和se(3)se(3)。首先，给出通用的李代数的定义。

指数映射

通过指数映射从李代数转为李群,李群通过对数映射转为李代数.

雅克比

雅克比矩阵为转换李代数中的平移成分为SE3中的平移成分

r=Jρ

SE(3)中的指数映射和对数映射

refer

1. http://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5137454.html
2. http://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/50446140
3. https://www.youtube.com/watch?v=khLM8VV8LuM
4. https://www.youtube.com/playlist?list=PLTBdjV_4f-EJn6udZ34tht9EVIW7lbeo4