判断唯一最小生成树（次小生成树）

先说一下最小生成树的思路 将边按长度从小到大排序 依次判断 如果会出现环就跳过这条边（用到并查集） 否则添加 直到添加到n-1条边 就是最小生成树

至于次小生成树 先提供第一种思路

先建成最小生成树 显然继续再添加任意一条边都会形成环 倘若新添的这条边与形成的环中除新添的边以外的最大的边长度相等 说明最小生成树不唯一 枚举一下就好（求这条边减环中除它以外的最大值就可以求次小生成树）重点就是怎么求最小生成树中任意两点间的边的最大值

上代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;int n,m;struct node{int x,y,w;};node s[10100];//读入的数组 int fa[110],ss[110][110];//fa是并查集 ss是最小生成树中任意两点之间经过的路径的边的最大值 bool p[10100];//p[i]判断第i条边是否在最小生成树内 bool cmp(node x,node y){return x.w<=y.w;}int dfs(int h){if(fa[h]==h)return h;//并查集 return fa[h]=dfs(fa[h]);//路径压缩 }int main(){int i,j,k,t,r;scanf("%d",&t);for(k=1;k<=t;k++){scanf("%d%d",&n,&m);int ans=0;memset(p,0,sizeof(p));for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){ss[i][j]=999999999;}ss[i][i]=0;}//一开始将任意两点之间的边的最大距离设为无限大 自己与自己的最大距离为0 for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&s[i].x,&s[i].y,&s[i].w);}sort(s+1,s+m+1,cmp);for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;//未连边之前 每个点都是一个独立的集合 int f=1;for(i=0;i<n-1;f++){//一共有n个点 所以需要连接n-1条边 循环n-1次 f指现在搜索到第f条边了 if(dfs(s[f].x)!=dfs(s[f].y)){fa[dfs(s[f].x)]=s[f].y;ans+=s[f].w;ss[s[f].x][s[f].y]=s[f].w;//更新第f条边连接的两个点之间的距离 ss[s[f].y][s[f].x]=s[f].w;p[f]=1;i++;}}//之前基本就是KRUSCAL for(r=1;r<=n;r++){//思想类似与floyd 不会的看我博客 for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(ss[i][j]==999999999 && ss[i][r]<999999999 && ss[j][r]<999999999 && i!=j){//一定要判断ss[i][j] 不然会被多余的替换 第一次替换的肯定是正确值 之后还会继续替换 越来越大 一开始就wa在这里了 ss[i][j]=max(ss[i][r],ss[j][r]);}}}}/这里用的爆搜是O（n^3） 貌似可以用LCA优化到O(n)今天困了没写 想学的看我博客for(i=1;i<=m;i++){if(!p[i] && ss[s[i].x][s[i].y]==s[i].w){printf("Not Unique!\n");ans=-1;break;}}if(ans==-1)continue;printf("%d\n",ans);}return 0;}

提供判断唯一最小生成树的另一种思路 最小生成树一开始只有一个点 每次寻找最小生成树以外的离最小生成树最近的点（即到离最小生成树内最近的点的距离 取为最小值）倘若此刻这个最近的点到最小生成树内所有的点的距离中出现了两次或两次以上的最小值 那么说明最小生成树不唯一 倘若此次枚举最小值出现了x次 那么最小生成树至少有x个 倘若每次枚举出现的最小值的次数为x1，x2，x3，……xn-1那么最小生成树共有x1*x2*x3……*xn-1个。