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核范数为什么能近似凸矩阵的秩

来源：互联网发布：淘宝儿童足球编辑：程序博客网时间：2024/05/22 04:19

https://www.zhihu.com/question/26471536

第一问：nuclear norm 是奇异值的和，rank是非零奇异值的个数。nuclear norm能近似rank就跟 $\ell_1$ norm能近似 $\ell_0$ norm一样。

第二问：
1) 首先矩阵诱导范数是凸的：令 $f_x(A)=\|Ax\|_p\ (p\ge 1)$ ，则 f_x

f_x

凸，故 $\|A\|_p=\sup_{x,\|x\|_p=1}f_x(A)$ 凸。特别地， $\|A\|_2$ 凸（即奇异值的最大值）。
2) 因为 $\|A\|_*$ 是 $\|A\|_2$ 的对偶范数（一个是和，一个是最大值，就和 $\ell_1$ norm跟 $\ell_\infty$ norm之间的关系一样），所以 $\|A\|_*$ 凸。实际上， $\|A\|_*=\sup_{X,\|X\|_2=1} \mathrm{tr}A^\mathrm{T}X$ 。故跟1) 同理， $\|A\|_*$ 凸。

作者：子元
链接：https://www.zhihu.com/question/26471536/answer/53961085
来源：知乎
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