求模(mod)运算的应用

1、mod运算的性质

结合律

((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p

((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p

交换律

(a + b) mod p = (b+a) mod p

(a × b) mod p = (b × a) mod p

分配律

((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p

(a×b) mod c=(a mod c * b mod c) mod c

(a+b) mod c=(a mod c+ b mod c) mod c

(a-b) mod c=(a mod c- b mod c) mod c

    mod运算通俗说是求余。a对b求余的结果余数一定小于b。所以上面的一些定律你就会明白为什么要多加mod符号，就是因为只要外层有一个mod，展开时也必须保证整体的结果小于模数。

2.mod运算的应用

例一：判断能否整除

i%n==0,那么i能够被n整除。

关于整除，详解一下我们之前判断被n整除的方法的由来。

被2整除：

判断方法：偶数

被3整除：

判断方法：i的每位和能够整除3

被6整除：

判断方法：先判断能被2整除，再判断能否被3整除

被8整除：

判断方法：判断后三位是否能够整除8

证明方法如下：

      看来以前的数学公式或者规则都很有用，当论证过后能够记得更清吧。

第二个应用：

       在博弈论中也有所应用，如甲乙两个人玩游戏，共有14个棋子，谁最后取完谁赢。每次只可取1-3个棋子，不可不取。那么如果甲先取，该如何取才能够必胜？

       其实博弈论一定要想好终态，也即最后是怎样赢的。所以这套赢的规律你要清楚，如本题答案：

       甲第一把：14%4=2

       之后若乙取x,那么甲取4-x。如此能够保证甲必胜。

       总的来说，mod运算其实也并没有专属的算法。mod运算只是一个运算，上面所说的两个例子是mod运算的两个应用。