LG 的数学计划 ---- 第三步 欧几里得算法和扩展欧几里得

于是，我们在完成神奇的前两步之后，来到了这个神奇的地方——欧几里得算法和扩展欧几里得算法。
那么，这是用来干什么的算法呢？
算最大公约数（GCD）~~~
好吧，考虑到有一些同学可能还不知道这是怎样一种神奇的东西，那么我就把这个东西的定义放到下面来：

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a和b的最大公约数可以用gcd(a,b)表示

嗯嗯，就是这样子的

那么，我们的欧几里得算法又是怎么算这样一个神奇的东西的呢？

它有一个更加生动的名字叫做辗转相除法，因为，在我们实际执行的时候就可以发现，它其实就是这样除来除去的~~~

那么，我们在做除法的过程中呢，选择的是带余除法，说的简单粗暴一点，就是计算的结果是商和余数。

现在，欧几里得算法的过程大概如下

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q……r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q……r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。

当然，我们也可以简化出这样一种神奇的式子来总结一下gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
嗯，这就是我们欧几里得算法的精髓（其实就这一句话，别的都是把你搞晕过去的）

证明如下：（借鉴了一点百度百科）

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。证毕。以上步骤的操作是建立在刚开始时r!=0的基础之上的。即m与n亦互质。

那么，我们的代码如何实现呢？

int gcd(int a,int b){    if(b==0)return a;//显然，这就是递归的边界    else return gcd(b,a%b);//这也很显然（其实那个else是可以删掉的）}

这样，gcd函数的返回值就是a和b的最大公约数的值了。

那么，我们来说说扩展欧几里得是个什么神奇的东西

首先，扩展欧几里得算法是用来干什么的呢？

其实，是解一种神奇的方程的—>ax+by=gcd(a,b)在这里，a和b是常数，我们需要求出x，y的值使之成立。啊………

那么，它的用处也很明显了：求解线性模方程和方程组。

（当然这只是大多数用处）

那么，代码如下

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(!b){        x=1;y=0;        return a;    }    int rec=exgcd(b,a%b,y,x);    y-=a/b*x;    return rec;}int main(){    int i,j,k,m,n,a,b,x,y;    cin>>a>>b;    cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;    cout<<x<<" "<<y<<endl;    return 0;}

显然，神奇的代码就在这里了，由于和朴素的欧几里得算法没有什么新的难的地方（当然朴素的也没有什么难的），证明过程和详细的注释就省略了~

好了，我们 LG的数学计划 第三步就这么愉快的结束了，拜拜~~
第四步 神奇的传送门（当然现在这是我自己的了）
:)

当然你也可以选择访问LYQ的文章传送到神奇的LYQ

大家下一步再见咯~