ACM 几何基础（1）

点 point

定义 ：

struct point

{

double x,y;

};

线 line

定义 ：

Struct line

{

Point s,e;

};

精度差

 

Const double eps=1e-8;

Int sgn(double x)

{

If(fabs(x)<eps) return 0;

If(x<0)return -1;

Else return 1;

}

直线

1）一般形式：ax+by+c=0或y=kx+b

2）直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1);

当y1=y2时，k=0与x轴平行

当 x1 = x2 时，k不存在

当 x1，x2无限接近时，k趋无穷大，这种情况要小心

 

3）两条直线垂直

K1*k2= - 1；

 

线段

1）凸组合：

假设x1,x2,...,xn是一组对象(要根据讨论问题的背景来确定)
a1,a2,...,an是n个常数,并且满足a1+...+an=1,
那么a1x1+...+anxn就称为x1,...,xn的凸组合

设两个不同的点：p1（x1，y1）  p2（x2，y2）的凸组合是满足条件p3（x3，y3）0<=a<=1

根据凸组合：

X3=ax1+(1-a)x2,    y3=ay1+(1-a)y2;

 所以：

P3=ap1+(1-a)p2;

2) 线段：

   P1，p2分别为线段的端点；

 

向量（矢量）的概念

1）定义：这个我就不多说了，大家高中就学过了，从某一点出发，有长度有方向，的就叫向量。

a*b=|a|*|b|cos<a,b>

设p1，p2为两点

|P1p2|=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));

 

2）矢量的加减法：

   加法口诀：首尾相连，再相加

   减法口诀：同起点，指被减

 

3）投影

   矢量b 在a上的投影“模”是(a.b)/|a|

 

4)矢量的数量积（点乘）

   两个矢量的数量积是一个数，大小等于这两个矢量的模的乘积再乘他们的夹角余弦。

a.(点乘)b=|a||b|cos<a,b>;

设a，b为向量，a=（x1，y1）  b（x2，y2）；

a.（点乘）b=x1*x2+y1*y2;

当a垂直b，a.(点乘)b=0

自乘：a.a=|a|^2;

满足 结合律，交换律，分配律；

 

 

 

5）矢量的矢量积（叉乘，叉积）

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量的和垂直。[1] 

 

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

 

设p1,p2为矢量p1（x1,y1）p2(x2,y2)若p1,p2,同起点

P1*(叉积)p2=x1y2-x2y1;

若结果为正数，说明p1在p2的顺时针方向，

若结果为负数，说明p1在p2的逆时针方向，

若结果为0 ，则p1，p2模相等且共线。

 

程序表达：设点 p0，p1,p2

R=multiply(p0,p1,p2)

R>0 则p0p1在p0p2的顺时针方向

R=0 则p0p1与p0p2共线

R<0 则p0p1在p0p2的逆时针方向

Double multiply(point p0,point p1,point p2)

{

Return ((p1.x-p0.x)*(p2.y=p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));

}

实际应用的一个矢量转到另一个矢量，确定旋转的方向就用叉积

 

求法向量做法：

叉乘（Cross product）

叉乘:Vector1（x1，y1，z1），Vector2（x2，y2，z2）：

其结果是个矢量。

方向是Vector1，Vector2构成的平面法线。再使用右手定则

长度是Length（Vector1）*Length（Vector2）*sin（theta）

theta是Vector1 & Vector2的夹角。

所以，平行的矢量叉乘结果为0矢量（长为0，方向任意）

计算结果矢量：（ox，oy，oz）

ox=（y1 * z2）-（y2 * z1）

oy=（z1 * x2）-（z2 * x1）

oz=（x1 * y2）-（x2 * y1）

用途:计算法向量，这是生成3D图形的很关键一步。

 

 

求面积做法：

首先：两个向量的叉积不是面积,两个向量的叉积是一个向量.
两个向量的叉积的模是面积.

 

6）矢量的旋转

将矢量b逆时针旋转a角度后的矢量为

|cos a  -sin a|

|sin a  cos a |*b