《机器学习实战》预测数值型数据-回归（Regression）

本文转载自:http://blog.csdn.net/gamer_gyt/article/details/51405251

1：用线性回归找到最佳拟合曲线

       

    回归的目的是预测数值型的目标值。最直接的办法是依据输人写出一个目标值的计算公式。假如你想要预测姐姐男友汽车的功率大小，可能会这么计算：

这就是所谓的回归方程，其中的0.0015和-0.99称作为回归系数，求这些回归系数的过程就是回归

回归的一般方法：

（1）收集数据：采用任意方法收集数据

（2）准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转化成二值型数据

（3）分析数据：绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法求得新回归系数之后，可以将新拟合线在图上作为对比

（4）训练算法：求得回归系数

（5）测试算法：使用R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果

（6）使用算法：使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，因为这样可以预测连续性数据而不仅仅是离散的类别标签

假定输入数据存放在矩阵X中，而回归系数存放在向量w中，那么对于给定的数据X预测结果将会通过 给出，加入在给定数据X和Y的情况下怎么求得W？

误差最小化：

同过找到最小误差求W（误差是真实Y和预测Y之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正误差和负误差相互抵消，所有我们采用平方误差）

                                                                     

我们可以通过调用Numpy库的矩阵方法求得w，即所谓最小二乘法（OLS）

代码实现

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1. #-*-coding:utf-8-*-  
2. ''''' 
3. Created on 2016年5月14日 
4.  
5. @author: Gamer Think 
6. '''  
7.   
8. from numpy import *  
9.   
10. #====================用线性回归找到最佳拟合曲线===========  
11. #加载数据集  
12. def loadDataSet(filename):  
13.     numFeat = len(open(filename).readline().split("\t")) -1  
14.     dataMat = []; labelMat = []  
15.     fr = open(filename)  
16.     for line in fr.readlines():  
17.         lineArr = []  
18.         curLine = line.strip().split("\t")  
19.         for i in range(numFeat):  
20.             lineArr.append(float(curLine[i]))  
21.           
22.         dataMat.append(lineArr)  
23.         labelMat.append(float(curLine[-1]))  
24.           
25.     return dataMat,labelMat  
26.   
27. #计算最佳拟合曲线  
28. def standRegress(xArr,yArr):  
29.     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T  #.T代表转置矩阵  
30.     xTx = xMat.T * xMat  
31.     if linalg.det(xTx) ==0.0: #linalg.det(xTx) 计算行列式的值  
32.         print "This matrix is singular , cannot do inverse"  
33.         return  
34.     ws = xTx.I * (xMat.T * yMat)  
35.     return ws  
36.   
37. #测试上边的函数  
38. xArr,yArr = loadDataSet("ex0.txt")  
39. ws = standRegress(xArr, yArr)  
40. print "ws（相关系数）：",ws    #ws 存放的就是回归系数  
41.   
42. #画图展示  
43. def show():  
44.     import matplotlib.pyplot as plt  
45.     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr)  
46.     yHat = xMat*ws  
47.     fig = plt.figure() #创建绘图对象  
48.     ax = fig.add_subplot(111)  #111表示将画布划分为1行2列选择使用从上到下第一块  
49.     #scatter绘制散点图  
50.     ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0])  
51.     #复制，排序  
52.     xCopy =xMat.copy()  
53.     xCopy.sort(0)  
54.     yHat = xCopy * ws  
55.     #plot画线  
56.     ax.plot(xCopy[:,1],yHat)  
57.     plt.show()  
58.   
59. show()  
60.   
61. #利用numpy库提供的corrcoef来计算预测值和真实值得相关性  
62. yHat = mat(xArr) * ws  #yHat = xMat * ws  
63. print "相关性：",corrcoef(yHat.T,mat(yArr))  
64. #====================用线性回归找到最佳拟合曲线===========  

效果展示：

(相关性中对角线1,1表示yHat与自己的匹配是完全的，与yMat的匹配是0.98）

2：局部加权线性回归

       加权的目的：降低预测的均方误差，减小欠拟合现象

       加权方法：局部加权线性回归（Locally Weighted Liner Regression，LWLR）在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后利用上一节的方法计算最小均方差来进行普通的回归

       此时回归系数：

                       

其中W是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重

LWLR使用核来对附近的点赋予更高的权重，最常用的核方法是高斯核，其对应的权重如下：

                         

这样就构建了一个只含对角线元素的权重矩阵w，并且点x与x（i）越近，w(i,i)将会越大，上述公式包含一个需要用户指定的参数k，他决定了对附近的点赋予多大的权重，这也是使用LWLR时唯一需要考虑的参数，下图展示了参数k与权重的关系

                           

在regression.py文件中加入以下代码

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1. #==================局部加权线性回归================  
2.   
3. def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):  
4.     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T  
5.     m = shape(xMat)[0]  
6.     weights = mat(eye((m)))   #产生对角线矩阵  
7.     for j in range(m):  
8.         diffMat = testPoint - xMat[j,:]  
9.         #更新权重值，以指数级递减  
10.         weights[j,j] = exp(diffMat * diffMat.T /(-2.0*k**2))  
11.     xTx = xMat.T * (weights * xMat)  
12.     if linalg.det(xTx) == 0.0:  
13.         print "this matrix is singular,cannot do inverse"  
14.         return  
15.     ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))  
16.     return testPoint * ws  
17.   
18. def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):  
19.     m = shape(testArr)[0]  
20.     yHat = zeros(m)  
21.     for i in range(m):  
22.         yHat[i] =lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)  
23.     return yHat  
24.   
25.   
26. xArr,yArr = loadDataSet('ex0.txt')  
27. print "k=1.0：",lwlr(xArr[0],xArr,yArr,1.0)  
28. print "k=0.001：",lwlr(xArr[0],xArr,yArr,0.001)  
29. print "k=0.003：",lwlr(xArr[0],xArr,yArr,0.003)  
30.   
31. #画图  
32. def showlwlr():  
33.     yHat = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.003)  
34.     xMat = mat(xArr)  
35.     srtInd = xMat[:,1].argsort(0)  
36.     xSort = xMat[srtInd][:,0,:]  
37.   
38.     import matplotlib.pyplot as plt  
39.     fig = plt.figure() #创建绘图对象  
40.     ax = fig.add_subplot(111)  #111表示将画布划分为1行2列选择使用从上到下第一块  
41.     ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])  
42.     #scatter绘制散点图  
43.     ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],mat(yArr).T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='red')  
44.     plt.show()  
45.   
46. showlwlr()  

运行结果和不同k值得图像比较

k=0.003时的输出图为：

k=0.01时对应的输出图：

k=1.0时的输出图：

从上图可以看出k=0.01时可以得到很好的效果

3：缩减系数来“理解”数据

如果系数的特征比样本点还多，在计算（X^t X）^-1 的时候会出错，为了解决这个问题，统计学家引入了岭回归的概念，还有lasso法，该方法效果很好，但是计算复杂，还有另外一种缩减方法称为岭向前逐步回归，可以得到与lasso差不多的效果，且更容易实现。

(1)：岭回归

岭回归就是在矩阵X^t X 上加一个 从而使得矩阵非奇异，进而能对 求逆，其中矩阵I是一个m*m的单位矩阵，对角线上元素全为1，其他元素全为0，而 是用户定义的数值，后面会做介绍，此时回归系数的计算公式将变为：

                                                       

          

          

缩减方法可以去掉不重要的参数，因此能更好的理解数据，此外，与简单的线性回归相比，缩减法能取得更好的预测效果，在这里依旧采用预测误差最小化得到：数据获取之后先抽取一部分用于测试，剩余的作为训练集用于训练数据W。

在regression.py中加入以下代码：

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1. #=========================岭回归==================  
2. #用于计算回归系数  
3. def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):  
4.     xTx = xMat.T * xMat  
5.     denom = xTx + eye(shape(xMat)[1]) * lam  
6.     if linalg.det(denom)==0.0:  
7.         print "This matrix is singular, cannot do inverse"  
8.         return   
9.     ws = denom.I * (xMat.T * yMat)  
10.     return ws  
11.   
12. #用于在一组lambda上做测试  
13. def ridgeTest(xArr,yArr):  
14.     xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T  
15.     yMean = mean(yMat,0)  
16.     #数据标准化  
17.     yMat = yMat - yMean  
18.     xMeans = mean(xMat,0)  
19.     xVar = var(xMat,0)  
20.     xMat = (xMat - xMeans)/xVar  
21.   
22.     numTestPts = 30  
23.     wMat = zeros((numTestPts, shape(xMat)[1]))  
24.     for i in range(numTestPts):  
25.         ws = ridgeRegres(xMat, yMat, exp(i-10))  
26.         wMat[i,:]=ws.T  
27.     return wMat  
28.   
29. abX,abY = loadDataSet('abalone.txt')  
30. ridgeWeights = ridgeTest(abX,abY)  
31. # print ridgeWeights  
32.   
33. def showRidge():  
34.     import matplotlib.pyplot as plt  
35.     fig = plt.figure()  
36.     ax = fig.add_subplot(111)  
37.     ax.plot(ridgeWeights)  
38.     plt.show()  
39.   
40. showRidge()  
41. #===================岭回归=============  

运行结果：

说明：lambda非常小时，系数与普通回归一样，而lambda非常大时，所有回归系数缩减为0，可以在中间某处找到使得预测结果最好的值

（2）：lasso

不难证明，在增加如下约束时，普通的最小二乘法回归会得到与岭回归的一样的公式：

                                            

上式限定了所有的回归系数的平方和不能大于lambda，使用普通的最小二乘法回归在当两个或更多的特征相关时，可能会得到一个很大的正系数和一个很大的负系数。正是因为上述限制条件的存在，使用岭回归可以避免这个问题

与岭回归类似，另外一个缩减方法lasso也对回归系数做了限定，对应的约束条件是如下：

                                                 

唯一一点不同的是这个约束条件使用绝对值取代了平方和，虽然约束条件只是稍作变化，结果却大相径庭，在lambda足够小的时候，一些系数会因此被迫缩减到0，而这个特性可以帮助我们更好的理解数据，这两个约束条件虽然相差无几，，但细微的变化却极大的增加了计算的复杂度，下面介绍一种更为简单的方法来得到计算结果，该方法叫做向前逐步回归

（3）：向前逐步回归

向前逐步回归算法可以得到和lasso差不多的效果，但是更加简单，它属于一种贪心算法，即每一步都尽可能的减小误差，一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或者减小一个很小的值

该算法的伪代码如下：

数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差

在每轮迭代过程中：

        设置当前最小误差lowestError为正无穷

        对每个特征：

                增大或减小：

                        改变一个系数得到一个新的W

                        计算新W下的误差

                        如果误差Error小于当前最小误差lowerError：设置Wbest等于当前的W

                将W设置为新的Wbest

代码实现如下

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1. #===================向前逐步回归============  
2.   
3. #计算平方误差  
4. def rssError(yArr,yHatArr): #yArr and yHatArr both need to be arrays  
5.     return ((yArr-yHatArr)**2).sum()  
6.   
7. #数据标准化处理  
8. def regularize(xMat):#regularize by columns  
9.     inMat = xMat.copy()  
10.     inMeans = mean(inMat,0)   #calc mean then subtract it off  
11.     inVar = var(inMat,0)      #calc variance of Xi then divide by it  
12.     inMat = (inMat - inMeans)/inVar  
13.     return inMat  
14.   
15.   
16. def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):  
17.     xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T  
18.     yMean = mean(yMat,0)  
19.     yMat = yMat - yMean     #can also regularize ys but will get smaller coef  
20.     xMat = regularize(xMat)  
21.     m,n=shape(xMat)  
22.     returnMat = zeros((numIt,n)) #testing code remove  
23.     ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()  
24.     for i in range(numIt):#could change this to while loop  
25.         #print ws.T  
26.         lowestError = inf;   
27.         for j in range(n):  
28.             for sign in [-1,1]:  
29.                 wsTest = ws.copy()  
30.                 wsTest[j] += eps*sign  
31.                 yTest = xMat*wsTest  
32.                 rssE = rssError(yMat.A,yTest.A)  
33.                 if rssE < lowestError:  
34.                     lowestError = rssE  
35.                     wsMax = wsTest  
36.         ws = wsMax.copy()  
37.         returnMat[i,:]=ws.T  
38.     return returnMat  
39.   
40. xArr,yArr = loadDataSet('abalone.txt')  
41. print stageWise(xArr, yArr, 0.01, 200)  

运行结果：

上述结果中值得注意的是wl和w6都是0 ,这表明它们不对目标值造成任何影响，也就是说这些特征很可能是不需要的。另外，在参数eps设置为0.01的情况下，一段时间后系数就已经饱和并在特定值之间来回震荡，这是因为步长太大的缘故。这里会看到，第一个权重在0.04和0.05之间来回震荡。

设置更小的步长：

print stageWise(xArr, yArr, 0.001, 200)

接下来把这些结果与最小二乘法进行比较，后者的结果可以通过如下代码获得

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1. xMat = mat(xArr)  
2. yMat = mat(yArr).T  
3. xMat = regularize(xMat)  
4. yM = mean(yMat,0)  
5. yMat = yMat - yM  
6. weights = standRegress(xMat, yMat.T)  
7. print weights.T  

可以看出在迭代5000次以后，逐步线性回归算法与常规的最小二乘法类似，使用0.005的epsilon值并经过1000次迭代后的结果参见

逐步线性回归算法的实际好处并不在于能绘出图8-7这样漂亮的图’ 主要的优点在于它可以帮助人们理解现有的模型并做出改进。当构建了一个模型后，可以运行该算法找出重要的特征，这样就有可能及时停止对那些不重要特征的收集。最后，如果用于测试，该算法每100次迭代后就可以构建出一个 模型，可以使用类似于10折交叉验证的方法比较这些模型，最终选择使误差最小的模型。当应用缩减方法（如逐步线性回归或岭回归)时，模型也就增加了偏差（础8)，与此同时却减小了模型的方差。